電磁気学としての $U(1)$ ヤン＝ミルズ理論

可換ゲージ場では、接続は時空上の1形式 $A$ であり、その曲率は電磁2形式

$$F=dA.$$

となります。マクスウェル方程式は、ビアンキ恒等式 $dF=0$ と源方程式 $\delta F=J$ で表されます。真空中では $J=0$ です。

ミンコフスキー時空と微分形式の演算子

計量の符号数を $(-,+,+,+)$ とします。余微分はホッジスターと外微分から 構成されるため、計量に由来するすべての符号を1か所で扱えます。

declare symbol t, x, y, z : MathValue

def N : Integer := 4
def coords : Vector MathValue := [| t, x, y, z |]
def g : Matrix MathValue :=
  [| [| -1, 0, 0, 0 |]
   , [| 0, 1, 0, 0 |]
   , [| 0, 0, 1, 0 |]
   , [| 0, 0, 0, 1 |] |]

def d (X : Tensor MathValue) : Tensor MathValue :=
  !(flip ∂/∂) coords X

def hodge (A : DiffForm MathValue) : DiffForm MathValue :=
  let k := dfOrder A
   in withSymbols [i, j]
        sqrt (abs (M.det g_#_#)) *
        foldl
          (.)
          ((ε' N k)_(i_1)..._(i_N) . A..._(j_1)..._(j_k))
          (map (\n -> g~(i_n)~(j_n)) [1..k])

def δ (A : DiffForm MathValue) : DiffForm MathValue :=
  let k := dfOrder A
   in (-1) ^ (N * k + 1) * hodge (d (hodge A))

基底に対する簡単な確認によって、ローレンツ計量における向きと符号規約を 固定します：$\star(dt\wedge dx)=-dy\wedge dz$。

hodge (wedge [| 1, 0, 0, 0 |] [| 0, 1, 0, 0 |])
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

ゲージポテンシャルと曲率

任意の記号的な成分関数を用いて、 $A=\varphi\,dt+A_x\,dx+A_y\,dy+A_z\,dz$ とします。$dA$ を反対称化すると、 電場と磁場を組み合わせた場の強さが現れます。

def ϕ : MathValue := function (t, x, y, z)
def Ax : MathValue := function (t, x, y, z)
def Ay : MathValue := function (t, x, y, z)
def Az : MathValue := function (t, x, y, z)

def potential : DiffForm MathValue := [| ϕ, Ax, Ay, Az |]

dfNormalize (d potential)
$\begin{pmatrix} 0 & \frac{-1}{2} \frac{\partial ϕ}{\partial 2} + \frac{1}{2} \frac{\partial Ax}{\partial 1} & \frac{-1}{2} \frac{\partial ϕ}{\partial 3} + \frac{1}{2} \frac{\partial Ay}{\partial 1} & \frac{-1}{2} \frac{\partial ϕ}{\partial 4} + \frac{1}{2} \frac{\partial Az}{\partial 1} \\ \frac{1}{2} \frac{\partial ϕ}{\partial 2} + \frac{-1}{2} \frac{\partial Ax}{\partial 1} & 0 & \frac{1}{2} \frac{\partial Ay}{\partial 2} + \frac{-1}{2} \frac{\partial Ax}{\partial 3} & \frac{1}{2} \frac{\partial Az}{\partial 2} + \frac{-1}{2} \frac{\partial Ax}{\partial 4} \\ \frac{1}{2} \frac{\partial ϕ}{\partial 3} + \frac{-1}{2} \frac{\partial Ay}{\partial 1} & \frac{-1}{2} \frac{\partial Ay}{\partial 2} + \frac{1}{2} \frac{\partial Ax}{\partial 3} & 0 & \frac{1}{2} \frac{\partial Az}{\partial 3} + \frac{-1}{2} \frac{\partial Ay}{\partial 4} \\ \frac{1}{2} \frac{\partial ϕ}{\partial 4} + \frac{-1}{2} \frac{\partial Az}{\partial 1} & \frac{-1}{2} \frac{\partial Az}{\partial 2} + \frac{1}{2} \frac{\partial Ax}{\partial 4} & \frac{-1}{2} \frac{\partial Az}{\partial 3} + \frac{1}{2} \frac{\partial Ay}{\partial 4} & 0 \\ \end{pmatrix}$

マクスウェルテンソル

場の方程式を見慣れた変数で表示するため、記号的な電場と磁場の成分から 反対称テンソル $F_{\mu\nu}$ を定義します。Egisonは微分2形式を $\tfrac12F_{\mu\nu}dx^\mu\wedge dx^\nu$ として保持するため、完全な 反対称成分行列には2分の1の係数が明示的に現れます。

def Ex : MathValue := function (t, x, y, z)
def Ey : MathValue := function (t, x, y, z)
def Ez : MathValue := function (t, x, y, z)
def Bx : MathValue := function (t, x, y, z)
def By : MathValue := function (t, x, y, z)
def Bz : MathValue := function (t, x, y, z)

def F : DiffForm MathValue :=
  (1 / 2) *
    [| [| 0, Ex, Ey, Ez |]
     , [| -Ex, 0, -Bz, By |]
     , [| -Ey, Bz, 0, -Bx |]
     , [| -Ez, -By, Bx, 0 |] |]

双対化したビアンキ式には、$\nabla\cdot B=0$ と $\nabla\times E=-\partial_tB$ がまとめて表現されています。

hodge (d F)
$\begin{pmatrix} \frac{\partial Bz}{\partial 4} + \frac{\partial By}{\partial 3} + \frac{\partial Bx}{\partial 2} \\ \frac{\partial Ez}{\partial 3} - \frac{\partial Ey}{\partial 4} + \frac{\partial Bx}{\partial 1} \\ -\frac{\partial Ez}{\partial 2} + \frac{\partial Ex}{\partial 4} + \frac{\partial By}{\partial 1} \\ \frac{\partial Ey}{\partial 2} - \frac{\partial Ex}{\partial 3} + \frac{\partial Bz}{\partial 1}\\ \end{pmatrix}$

余微分にはガウスの法則とアンペール＝マクスウェルの法則がまとめて 表現されています。 このベクトルを電流1形式と等しいと置くことで、$\delta F=J$ が得られます。

δ F
$\begin{pmatrix} -\frac{\partial Ez}{\partial 4} - \frac{\partial Ey}{\partial 3} - \frac{\partial Ex}{\partial 2} \\ -\frac{\partial Ex}{\partial 1} + \frac{\partial Bz}{\partial 3} - \frac{\partial By}{\partial 4} \\ -\frac{\partial Ey}{\partial 1} - \frac{\partial Bz}{\partial 2} + \frac{\partial Bx}{\partial 4} \\ -\frac{\partial Ez}{\partial 1} + \frac{\partial By}{\partial 2} - \frac{\partial Bx}{\partial 3}\\ \end{pmatrix}$

ここで、成分に2分の1を付ける規約は dfNormalize (d potential) と 一致します。これらの微分の組み合わせが、斉次マクスウェル方程式と 源を含むマクスウェル方程式です。これは可換な $U(1)$ ヤン＝ミルズ系であり、 非線形項 $A\wedge A$ は消えます。

リンク

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