ウェッジ積と反対称化¶

微分形式の積には、交代的なウェッジ積を用います。 1形式 $a$ と $b$ に対して、

$$(a\wedge b)_{ij}=\frac12(a_i b_j-a_j b_i),$$

となるため、$a\wedge b=-b\wedge a$ および $a\wedge a=0$ が成り立ちます。 Egisonでは、まず添字付きテンソル積を構成し、続いて dfNormalize によりその交代化された微分形式としての表現を取り出します。

$\mathbb R^3$ の座標1形式¶

順序付き基底 $(dx,dy,dz)$ の各基底1形式をベクトルとして表します。幾何学的な設定を明確にするため、空間の次元と座標も明示します。

declare symbol x, y, z : MathValue

def N : Integer := 3
def params : Vector MathValue := [| x, y, z |]

def dx : DiffForm Integer := [| 1, 0, 0 |]
def dy : DiffForm Integer := [| 0, 1, 0 |]
def dz : DiffForm Integer := [| 0, 0, 1 |]

正規化前の添字付き積¶

正規化前のウェッジ積には、テンソル演算によって生成された順序付き成分がそのまま残ります。正規化の前にこの値を見ることで、内部表現の規約を確認できます。

dx ∧ dy

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

交代2形式¶

正規化すると、この成分は反対称行列全体に分配されます。 $(1,2)$ 成分と $(2,1)$ 成分は互いに逆符号となり、規約による係数 $1/2$ が付きます。

dfNormalize (dx ∧ dy)

$\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{-1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

反対称化は、同じ基底方向の重複も取り除きます。中間的な添字付き積 $dz\wedge dz$ には対角成分がありますが、微分形式として正規化するとゼロになります。

dfNormalize (dz ∧ dz)

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

したがって dfNormalize は単なる表示上の処理ではなく、添字付きテンソルをその交代部分へ射影する操作です。正規化後のテンソルは、 $dx\wedge dy=-dy\wedge dx$ および $dz\wedge dz=0$ という幾何学的恒等式を満たします。

ウェッジ積と反対称化¶

$\mathbb R^3$ の座標1形式¶

正規化前の添字付き積¶

交代2形式¶

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