複素数の乗法から導く三角関数の恒等式¶
オイラーの公式を使うと、余弦と正弦を一つの代数的な式にまとめられます。
$$u(\alpha)=\cos\alpha+i\sin\alpha=e^{i\alpha}.$$
これらの式を掛け合わせ、実部と虚部の係数を読むことで、よく知られた いくつかの恒等式を導けます。一度の多項式計算を行い、その係数を 解釈するという、記号計算に有用なパターンです。
単位円上の式の記号表現¶
$\alpha$と$\beta$は記号のまま扱います。式uMinusBetaは、
簡約器に正弦と余弦の偶奇性を認識させることなく、
$u(-\beta)=\cos\beta-i\sin\beta$を表します。
declare symbol α, β : MathValue
def uAlpha : MathValue := cos α + i * sin α
def uBeta : MathValue := cos β + i * sin β
def uMinusBeta : MathValue := cos β - i * sin β
加法定理¶
$u(\alpha)u(\beta)$における$1$と$i$の係数は、それぞれ $\cos(\alpha+\beta)$と$\sin(\alpha+\beta)$です。
coefficients (uAlpha * uBeta) i
返された2つの係数を読むと、次の式が得られます。
$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, $$ $$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. $$
$u(\alpha)u(\beta)$と$u(\alpha)u(-\beta)$を加えると、積和公式に 現れる組合せだけを取り出せます。
coefficients (uAlpha * uBeta + uAlpha * uMinusBeta) i
結果の実部は$2\cos\alpha\cos\beta$、虚部は $2\sin\alpha\cos\beta$を表します。2で割り、2つの積を $u(\alpha\pm\beta)$で置き換えると、標準的な積和公式が得られます。
三倍角の公式¶
単位円上の式を3乗すると、二項展開のすべての項を一度に計算できます。
coefficients (uAlpha ^ 3) i
実部と虚部はそれぞれ
$$\cos^3\alpha-3\cos\alpha\sin^2\alpha,$$ $$3\cos^2\alpha\sin\alpha-\sin^3\alpha.$$
第1式に$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$を、第2式に $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$を用いると、
$$\cos(3\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha,$$ $$\sin(3\alpha)=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha.$$
重要なのは、Egisonの係数抽出によって、あらかじめ与えた恒等式を 単に検算するのではなく、複素数の乗法から式を見通しよく 導出できることです。