埋め込みトーラス$T^2$のリーマン曲率テンソル¶

管半径$a$、大半径$b$の環状トーラスを次のように埋め込みます。

$$ X(\theta,\phi)=\bigl((b+a\cos\theta)\cos\phi, (b+a\cos\theta)\sin\phi,a\sin\theta\bigr),\qquad b>a>0. $$

内在的に平坦な商空間としてのトーラスとは異なり、この埋め込みトーラスの曲率は場所によって符号が変わります。ここでは接続、リーマンテンソル、リッチテンソル、スカラー曲率を計算します。

座標と計量¶

座標ベクトルは互いに直交し、その長さの2乗は$a^2$と $(b+a\cos\theta)^2$です。したがって、

$$ g=\begin{pmatrix}a^2&0\\0&(b+a\cos\theta)^2\end{pmatrix}. $$

declare symbol a, b, θ, φ: MathValue

def x : Vector MathValue := [| θ, φ |]
def X : Vector MathValue :=
  [| `(a * cos θ + b) * cos φ
   , `(a * cos θ + b) * sin φ
   , a * sin θ
   |]

def e_i_j : Matrix MathValue := ∂/∂ X_j x~i

def g_i_j : Matrix MathValue :=
  generateTensor (\[u, v] -> V.* e_u_# e_v_#) [2, 2]

def g~i~j : Matrix MathValue := M.inverse g_#_#

$\begin{pmatrix} \cos(φ) (\cos(θ) a + b) \\ \sin(φ) (\cos(θ) a + b) \\ \sin(θ) a\\ \end{pmatrix}$

g_#_#

$\begin{pmatrix} a^{2} & 0 \\ 0 & (\cos(θ) a + b)^{2} \\ \end{pmatrix}_{\#\#}^{\;\;}$

g~#~#

$\begin{pmatrix} a^{-2} & 0 \\ 0 & (\cos(θ) a + b)^{-2} \\ \end{pmatrix}_{\;\;}^{\#\#}$

レヴィ・チヴィタ接続¶

次の式を用い、第1添字を$g^{ij}$で上げます。 $\Gamma_{ijk}=\tfrac12(\partial_jg_{ik}+\partial_kg_{ij}-\partial_ig_{jk})$

def Γ_i_j_k : Tensor MathValue :=
  (1 / 2) * (∂/∂ g_i_k x~j + ∂/∂ g_i_j x~k - ∂/∂ g_j_k x~i)

def Γ~i_j_k : Tensor MathValue := withSymbols [m]
  g~i~m . Γ_m_j_k

Γ~1_#_#

$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sin(θ) (\cos(θ) a + b) a^{-1} \\ \end{pmatrix}_{\#\#}^{\;\;}$

Γ~2_#_#

$\begin{pmatrix} 0 & -\sin(θ) (\cos(θ) a + b)^{-1} a \\ -\sin(θ) (\cos(θ) a + b)^{-1} a & 0 \\ \end{pmatrix}_{\#\#}^{\;\;}$

リーマンテンソル¶

末尾の2つの添字は反対称です。第1添字を下げると、$R_{ijkl}$でよく知られた添字対の対称性も明らかになります。

def R~i_j_k_l : Tensor MathValue := withSymbols [m]
  ∂/∂ Γ~i_j_l x~k - ∂/∂ Γ~i_j_k x~l
    + Γ~m_j_l . Γ~i_m_k - Γ~m_j_k . Γ~i_m_l

def R_i_j_k_l : Tensor MathValue := withSymbols [m]
  g_i_m . R~m_j_k_l

R~#_#_1_2

$\begin{pmatrix} 0 & \cos(θ) (\cos(θ) a + b) a^{-1} \\ -\cos(θ) (\cos(θ) a + b)^{-1} a & 0 \\ \end{pmatrix}_{\;\#}^{\#\;}$

R_1_2_1_2

$\cos(θ) (\cos(θ) a + b) a$

リッチ曲率・スカラー曲率・ガウス曲率¶

2次元では、スカラー曲率はガウス曲率の2倍、すなわち $\mathcal R=2K$です。このトーラスでは、

$$ K(\theta)=\frac{\cos\theta}{a(b+a\cos\theta)}. $$

def Ric_i_j : Matrix MathValue := withSymbols [m]
  sum (contract R~m_i_m_j)

def scalarCurvature : MathValue := withSymbols [i, j]
  g~i~j . Ric_i_j

def gaussianCurvature : MathValue := scalarCurvature / 2

Ric_#_#

$\begin{pmatrix} \cos(θ) (\cos(θ) a + b)^{-1} a & 0 \\ 0 & \cos(θ) (\cos(θ) a + b) a^{-1} \\ \end{pmatrix}_{\#\#}^{\;\;}$

scalarCurvature

$2 \cos(θ) (\cos(θ) a + b)^{-1} a^{-1}$

gaussianCurvature

$\cos(θ) (\cos(θ) a + b)^{-1} a^{-1}$

幾何学的な意味¶

トーラスの外側（$\cos\theta>0$）では曲率が正、内側（$\cos\theta<0$）では負となり、上端と下端の円周上では曲率が0で放物的になります。ガウス–ボンネ積分では正負の寄与が打ち消し合い、 $\chi(T^2)=0$と整合します。