シュワルツシルト計量のリーマン曲率¶
静止した球対称質量$M$の外部で、次のようにおきます。
$$ A(r)=1-\frac{2GM}{c^2r}. $$
符号$(+---)$、座標$(t,r,\theta,\phi)$を用いると、線素は
$$ ds^2=A\,dt^2-A^{-1}dr^2-r^2d\theta^2-r^2\sin^2\theta\,d\phi^2. $$
この計量はリッチ平坦ですが、リーマン平坦ではありません。曲率の 全成分を計算する高負荷な展開を行わず、いくつかの成分を選んで この違いを確認します。
局所フレーム、計量、逆計量¶
この座標表示は、$r>0$かつ$A=0$でない領域を覆います。曲面 $r=2GM/c^2$はこの座標表示における座標地平面ですが、$r=0$の 特異性は曲率不変量によって検出されます。 $\eta=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$である局所Lorentzフレームでは、 座標接ベクトルの成分は
$$ e_t=(\sqrt A,0,0,0),\quad e_r=(0,A^{-1/2},0,0),\quad e_\theta=(0,0,r,0),\quad e_\phi=(0,0,0,r\sin\theta). $$
Egisonは計量や逆計量を成分ごとに入力するのではなく、 $g_{ij}=\eta(e_i,e_j)$として計量を求め、その計量から逆計量を計算します。
declare symbol G, M, c, t, r, θ, φ: MathValue
def x : Vector MathValue := [| t, r, θ, φ |]
def A : MathValue := `(c^2 * r - 2 * G * M) / (c^2 * r)
def e_i_j : Matrix MathValue :=
[| [| sqrt A, 0, 0, 0 |]
, [| 0, 1 / sqrt A, 0, 0 |]
, [| 0, 0, r, 0 |]
, [| 0, 0, 0, r * sin θ |]
|]_i_j
def minkowskiDot (u : Vector MathValue) (v : Vector MathValue) : MathValue :=
u_1 * v_1 - u_2 * v_2 - u_3 * v_3 - u_4 * v_4
def g_i_j : Matrix MathValue :=
generateTensor (\[i, j] -> minkowskiDot e_i_# e_j_#) [4, 4]
def g~i~j : Matrix MathValue := M.inverse g_#_#
A
g_#_#
g~#~#
レヴィ・チヴィタ接続¶
接続を表として入力するのではなく、計量から計算します。 $\Gamma^\theta{}_{r\theta}=1/r$や $\Gamma^\phi{}_{\theta\phi}=\cot\theta$などの角度方向の成分は、 特に簡潔な検算になります。
def Γ_i_j_k : Tensor MathValue :=
(1 / 2) * (∂/∂ g_i_k x~j + ∂/∂ g_i_j x~k - ∂/∂ g_j_k x~i)
def Γ~i_j_k : Tensor MathValue := withSymbols [m]
g~i~m . Γ_m_j_k
Γ~3_2_3
Γ~4_3_4
リーマンテンソルとリッチテンソル¶
球面のNotebookと同じ符号規約を用います。$M\ne0$のとき、角度成分 $R^\theta{}_{\phi\theta\phi}$は0ではありません。平坦な球座標計量では、 その動径方向と角度方向の項が打ち消し合います。リッチ曲率は $R^m{}_{imj}$を縮約したものです。
def R~i_j_k_l : Tensor MathValue := withSymbols [m]
expandAll
(∂/∂ Γ~i_j_l x~k - ∂/∂ Γ~i_j_k x~l
+ Γ~m_j_l . Γ~i_m_k - Γ~m_j_k . Γ~i_m_l)
def Ric_i_j : Matrix MathValue := withSymbols [m]
sum (contract R~m_i_m_j)
def scalarCurvature : MathValue := withSymbols [i, j]
g~i~j . Ric_i_j
expandAll (R~3_4_3_4)
expandAll (Ric_1_1)
物理的・幾何学的な意味¶
リーマンテンソルの成分は潮汐曲率を捉えます。一方、リッチテンソルの 成分は、真空アインシュタイン方程式が要請するとおり0に簡約されます。 座標に依存しないクレッチマン不変量は
$$ R_{abcd}R^{abcd}=\frac{48G^2M^2}{c^4r^6}. $$
です。したがって、曲率はシュワルツシルト地平面では有限ですが、 $r=0$では発散します。4つの添字の全組合せを展開すると対話的なデモには 不必要なほど計算量が大きくなるため、不変量の完全な縮約は出力セルで 計算せず、式として示しています。