4次元超球面 $S^4$ のリーマン曲率テンソル¶

半径 $r$ の丸い4次元超球面は、一定の断面曲率 $1/r^2$ をもちます。このNotebookでは、添字付きのEgison記法を使って、その計量、レヴィ・チヴィタ接続、リーマンテンソル、リッチテンソル、スカラー曲率を順に構成します。

ここでは次の符号規約を採用します。

$$ R^i{}_{jkl} = \partial_k\Gamma^i{}_{jl} - \partial_l\Gamma^i{}_{jk} + \Gamma^m{}_{jl}\Gamma^i{}_{mk} - \Gamma^m{}_{jk}\Gamma^i{}_{ml}. $$

超球面座標チャート¶

座標を $x=(\theta, \phi, \psi, \eta)$ とします。標準埋め込み $X:S^4\hookrightarrow\mathbb{R}^5$ は、 $X_1=r\cos \theta$、$X_2=r\sin \theta\cos \phi$、……のように、正弦を順次掛け合わせる形で構成されます。これにより $X\mathbin{\cdot}X=r^2$ が明らかになります。

このチャートは通常の座標極を含みません。そこで現れる特異性は超球面座標に由来するものであり、丸い超球面の幾何そのものの特異性ではありません。

declare symbol r, θ, φ, ψ, η: MathValue

def x : Vector MathValue := [| θ, φ, ψ, η |]

def X : Vector MathValue := [| r * cos θ, r * sin θ * cos φ, r * sin θ * sin φ * cos ψ, r * sin θ * sin φ * sin ψ * cos η, r * sin θ * sin φ * sin ψ * sin η |]

$\begin{pmatrix} \cos(θ) r \\ \cos(φ) \sin(θ) r \\ \cos(ψ) \sin(θ) \sin(φ) r \\ \cos(η) \sin(θ) \sin(φ) \sin(ψ) r \\ \sin(η) \sin(θ) \sin(φ) \sin(ψ) r\\ \end{pmatrix}$

計量と逆計量¶

埋め込みを微分すると、直交する座標基底が得られます。その線素は

$$ ds^2=r^2\left(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2 + \sin^2 \theta \sin^2 \phi d\psi^2 + \sin^2 \theta \sin^2 \phi \sin^2 \psi d\eta^2\right). $$

Egisonは埋め込みを微分して座標接ベクトルを求め、それらの内積として各成分 $g_{ij}=\partial_iX\mathbin{\cdot}\partial_jX$ を構成します。逆計量は、この誘導計量から計算します。

def e_i_j : Matrix MathValue := ∂/∂ X_j x~i

def g_i_j : Matrix MathValue :=
  generateTensor (\[a, b] -> V.* e_a_# e_b_#) [4, 4]

def g~i~j : Matrix MathValue := M.inverse g_#_#

g_1_#

$\begin{pmatrix} r^{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ \end{pmatrix}_{\#}^{\;}$

g_4_#

$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \sin(θ)^{2} \sin(φ)^{2} \sin(ψ)^{2} r^{2}\\ \end{pmatrix}_{\#}^{\;}$

g~1~#

$\begin{pmatrix} r^{-2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ \end{pmatrix}_{\;}^{\#}$

レヴィ・チヴィタ接続¶

第一種および第二種クリストッフェル記号は

$$ \Gamma_{ijk}=\frac12 (\partial_jg_{ik}+\partial_kg_{ij}-\partial_ig_{jk}), \qquad \Gamma^i{}_{jk}=g^{im}\Gamma_{mjk}. $$

重複する記号添字は . によって縮約されます。withSymbols ブロックは、ダミー添字のスコープを定義の内部に限定します。

def Γ_i_j_k : Tensor MathValue :=
  (1 / 2) * (∂/∂ g_i_k x~j + ∂/∂ g_i_j x~k - ∂/∂ g_j_k x~i)

def Γ~i_j_k : Tensor MathValue := withSymbols [m]
  g~i~m . Γ_m_j_k

Γ~1_2_2

$-\cos(θ) \sin(θ)$

Γ~2_1_2

$\cos(θ) \sin(θ)^{-1}$

リーマンテンソル¶

以下の定義は、冒頭で示した符号規約をそのまま転記したものです。 2つの出力セルは、テンソルの最初の2つのスロットを入れ替えながら、同じ座標2平面上の成分を取り出しています。両者に異なる座標因子が現れるのは、座標基底が正規直交基底ではないことから予想される通りです。

def R~i_j_k_l : Tensor MathValue := withSymbols [m]
  ∂/∂ Γ~i_j_l x~k - ∂/∂ Γ~i_j_k x~l
    + Γ~m_j_l . Γ~i_m_k - Γ~m_j_k . Γ~i_m_l

R~1_2_1_2

$\sin(θ)^{2}$

R~2_1_1_2

$-1$

リッチ曲率とスカラー曲率¶

リーマンテンソルの第1添字と第3添字を縮約すると

$$ \operatorname{Ric}_{ij}=R^m{}_{imj}, \qquad \mathcal{R}=g^{ij}\operatorname{Ric}_{ij}. $$

丸い $S^4$ に対して、座標に依存しない形では

$$ \operatorname{Ric}=\frac{3}{r^2}g, \qquad \mathcal{R}=\frac{12}{r^2}. $$

def Ric_i_j : Matrix MathValue := withSymbols [m]
  sum (contract R~m_i_m_j)

def scalarCurvature : MathValue := withSymbols [i, j]
  g~i~j . Ric_i_j

Ric_1_#

$\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ \end{pmatrix}_{\#}^{\;}$

scalarCurvature

$12 r^{-2}$

結果の解釈¶

取り出した各成分は座標に依存しますが、それらを縮約すると不変な主張が得られます。すなわち、すべての接2平面の断面曲率は $1/r^2$、計量はアインシュタイン計量、スカラー曲率は $12/r^2$ です。 $\sin \theta$ のような因子がチャートの極で消えるのは、そこで座標枠が退化するためです。曲率そのものは滑らかなままです。