$S^2\times S^3$ 上のアインシュタイン計量¶
「$S^2\times S^3$ のリーマン曲率テンソル」という名前で公開されてきた Egisonのデモは、2つの丸い計量の単純なブロック直積ではなく、非対角な 5次元計量を扱います。その目標は、次のアインシュタイン条件を確かめる ことです。
$$ \operatorname{Ric}_{ij}=4g_{ij},\qquad \mathcal R=20. $$
このNotebookでは、その計量を引き継ぎつつ、記号計算に必要な計算量を 明示します。計量や接続の小さな成分は対話的な出力に適していますが、 アインシュタイン条件の残差全体は、必要に応じて明示的に評価できるよう 定義だけを用意します。
座標と略記¶
座標の順序を $x=(\phi,\theta,\psi,y,\alpha)$ とし、次の略記を導入します。
$$ p=1-y,\quad u=a-y^2,\quad v=a-3y^2+2y^3,\quad q=a-2y+y^2. $$
これらの因子によって、元の計量に繰り返し現れる構造が見やすくなり、 座標領域の制約（$p u v\ne0$）も明確になります。
declare symbol φ, θ, ψ, y, α, a: MathValue
def x : Vector MathValue := [| φ, θ, ψ, y, α |]
def p : MathValue := `(1 - y)
def u : MathValue := `(a - y^2)
def v : MathValue := `(a - 3 * y^2 + 2 * y^3)
def q : MathValue := `(a - 2 * y + y^2)
(p, u, v, q)
局所フレームと誘導計量¶
$f=q/(6u)$とおきます。計量は、正規直交フレームを用いて次のように 分解できます。
$$ \begin{split} ds^2={}&\frac p6(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2) +\frac{p}{2v}dy^2 +\frac{v}{9u}(d\psi-\cos\theta\,d\phi)^2\\ &+\frac{2u}{p} \bigl(d\alpha+f(d\psi-\cos\theta\,d\phi)\bigr)^2. \end{split} $$
下のe_i_jの各行は、座標接ベクトル$e_i$をこの正規直交フレームで
表したものです。丸い球面のNotebookと同じように、Egisonは接ベクトルの
内積$g_{ij}=e_i\mathbin{\cdot}e_j$からすべての計量成分を構成します。
$(1,3,5)$ブロックの結合は、$d\psi-\cos\theta\,d\phi$が2か所に現れる
ことから生成されます。
def f : MathValue := q / (6 * u)
def e_i_j : Matrix MathValue :=
[| [| sqrt (p / 6) * sin θ
, 0
, -(sqrt (v / u) / 3) * cos θ
, 0
, -sqrt (2 * u / p) * f * cos θ |]
, [| 0, sqrt (p / 6), 0, 0, 0 |]
, [| 0, 0, sqrt (v / u) / 3, 0, sqrt (2 * u / p) * f |]
, [| 0, 0, 0, sqrt (p / (2 * v)), 0 |]
, [| 0, 0, 0, 0, sqrt (2 * u / p) |]
|]_i_j
def g_i_j : Matrix MathValue :=
generateTensor (\[i, j] -> V.* e_i_# e_j_#) [5, 5]
g_2_2
g_4_4
(g_1_3, g_3_1, g_1_5, g_5_1)
接続と曲率の計算手順¶
第一種クリストッフェル記号には、上で示した計量の微分だけが必要です。 添字を上げる段階で、結合したブロックの逆行列が現れます。それでも、 リーマンテンソルとリッチテンソルの定義は低次元の例と同じです。
$$ R^i{}_{jkl}=\partial_k\Gamma^i{}_{jl}-\partial_l\Gamma^i{}_{jk} +\Gamma^m{}_{jl}\Gamma^i{}_{mk}-\Gamma^m{}_{jk}\Gamma^i{}_{ml}, \qquad \operatorname{Ric}_{ij}=R^m{}_{imj}. $$
def g~i~j : Matrix MathValue := M.inverse g_#_#
def Γ_i_j_k : Tensor MathValue :=
(1 / 2) * (∂/∂ g_i_k x~j + ∂/∂ g_i_j x~k - ∂/∂ g_j_k x~i)
def Γ~i_j_k : Tensor MathValue := withSymbols [m]
g~i~m . Γ_m_j_k
def R~i_j_k_l : Tensor MathValue := withSymbols [m]
∂/∂ Γ~i_j_l x~k - ∂/∂ Γ~i_j_k x~l
+ Γ~m_j_l . Γ~i_m_k - Γ~m_j_k . Γ~i_m_l
def Ric_i_j : Matrix MathValue := withSymbols [m]
sum (contract R~m_i_m_j)
def einsteinResidual_i_j : Matrix MathValue := withSymbols [i, j]
expandAll' (Ric_i_j -' 4 *' g_i_j)
Γ_2_2_4
Γ_2_4_2
結果の解釈と評価方針¶
例として取り出した2つの第一種クリストッフェル記号は、単純な成分
$g_{22}=p/6$ から得られ、期待される対称性
$\Gamma_{ijk}=\Gamma_{ikj}$ を示します。完全な検証を表すのが
einsteinResidual_#_# です。数学的にはこれは零行列となるため、
スカラー曲率は $5\cdot4=20$ です。
残差の25成分をすべて展開すると、結合ブロックの逆行列と多数の有理式の
簡約が必要になります。そのため、意図的に自動実行される出力セルには
していません。この恒等式を対話的に調べるときは、
einsteinResidual_2_2 のような個々の成分を評価してください。