四次方程式を解く¶

フェラーリの方法では、まず四次方程式を変数変換し、三次項のない次の形にします。

$$ y^4+py^2+qy+r=0. $$

次に、多項式が二つの二次式に因数分解されるよう、レゾルベントのパラメーター $u$ を選びます。$u$ が満たす条件は、次の三次方程式です。

$$ u(p+u)^2-4ru-q^2=0. $$

三つの構造的な場合分け¶

複二次方程式（$q=0$）は、二次方程式を2回解くだけで解けます。一般の三次項のない四次方程式では、三次レゾルベントを使います。最後に、モニックな四次方程式の三次項は $x=y-b/4$ によって消去します。非モニックな多項式は、その前に正規化します。

declare symbol x, y, u: MathValue

def solveBiquadratic
  (p : MathValue)
  (q : MathValue)
  : (MathValue, MathValue, MathValue, MathValue) :=
  let (s1, s2) := qF' 1 p q
      (r1, r2) := qF' 1 0 (- s1)
      (r3, r4) := qF' 1 0 (- s2)
   in (r1, r2, r3, r4)

複二次方程式への近道¶

$x^4-5x^2+4=0$ では、$t=x^2$ と置換すると $(t-1)(t-4)=0$ が得られます。まず $t$ について解き、各値の平方根を正負ともに取れば、四つの解がすべて得られます。

solveBiquadratic (-5) 4

$(2, -2, 1, -1)$

フェラーリの方法の一般分岐¶

すでに三次項がない次の多項式を考えます。

$$ y^4-15y^2-10y+24 =(y+3)(y+2)(y-1)(y-4). $$

ここでは $(p,q,r)=(-15,-10,24)$ なので、実際に複二次方程式ではありません。このレゾルベントには、計算に都合のよい解 $u=1$ があります。

def p : MathValue := -15
def q : MathValue := -10
def r : MathValue := 24
def chosenU : MathValue := 1

def resolvent (u : MathValue) : MathValue :=
  u * (p + u)^2 - 4 * r * u - q^2

def factorPlus : MathValue :=
  y^2 + (p + chosenU) / 2
    + sqrt chosenU * (y - q / (2 * chosenU))

def factorMinus : MathValue :=
  y^2 + (p + chosenU) / 2
    - sqrt chosenU * (y - q / (2 * chosenU))

resolvent chosenU

$0$

(factorPlus, factorMinus)

$(y^{2} + y - 2, y^{2} - y - 12)$

(qF factorPlus y, qF factorMinus y)

$((1, -2), (4, -3))$

因数分解が成り立つ理由¶

レゾルベントの解 $u$ を一つ選ぶと、三次項のない四次式を次の二つの式へ分解できます。

$$ y^2+\frac{p+u}{2} \pm\sqrt{u}\left(y-\frac{q}{2u}\right)=0. $$

二次方程式ソルバーを2回呼び出すことで、四つの解をすべて得られます。

まとめ¶

二つの実行経路はフェラーリの証明をそのまま反映しています。複二次方程式の場合はただちに二次方程式へ還元し、一次項が0でない場合はレゾルベントの解を一つ使って二つの二次因子を取り出します。Egisonでは、厳密な因数分解と四つの解を記号のまま保てます。