3次元極座標のラプラシアン

---

• 3次元極座標のラプラシアンの検算
• 3次元極座標のラプラシアンの導出

---

3次元極座標のラプラシアンの検算

下記の公式が正しいことを、右辺の`u_(r r)`と`u_r`、`u_(theta theta)`、`u_theta`、`u_(phi phi)`を展開することにより確かめています。

`u_(x x) + u_(y y) + u_(z z) = u_(r r) + (2 / r) u_r + (1 / r^2) u_(theta theta) + (cos(theta) / (r^2 sin(theta))) u_theta + (1 / (r^2 sin^2(theta))) u_(phi phi)` -- -- This file has been auto-generated by egison-translator. -- def x := r * sin θ * cos φ def y := r * sin θ * sin φ def z := r * cos θ def uR := ∂/∂ (u x y z) r uR def uRR := ∂/∂ (∂/∂ (u x y z) r) r uRR def uΘ := ∂/∂ (u x y z) θ uΘ def uΘΘ := ∂/∂ (∂/∂ (u x y z) θ) θ uΘΘ def uΦ := ∂/∂ (u x y z) φ uΦ def uΦΦ := ∂/∂ (∂/∂ (u x y z) φ) φ uΦΦ uRR + 2 / r * uR + 1 / r ^ 2 * uΘΘ + cos θ / (r ^ 2 * sin θ) * uΘ + 1 / (r * sin θ) ^ 2 * uΦΦ

3次元極座標のラプラシアンの導出

リーマン幾何学の共変微分の概念を使うと、一般の座標のラプラシアンは以下のように定義できます。

`Delta = g^(i j) grad_i grad_j`

この公式は以下のように展開できます。

`Delta = (1 / sqrt(g)) del_i sqrt(g) g^(i j) del_j`

下記のプログラムでは、この公式を用いてラプラシアンを計算しています。

"\"egison\" (line 26, column 12):\nunexpected \"_\"\nexpecting top-level expression"

リンク

Egison 数学ノート目次に戻る