2次元極座標のラプラシアン¶

ユークリッド空間のラプラシアンが表す意味は座標によらない一方、その具体的な式は座標によって変わります。ここでは計量から極座標表示を導出し、多変数の連鎖律を使って検算します。

座標と計量¶

線素は次のように表されます。

$$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$$

座標写像を微分して接ベクトルを求め、それらの内積から計量を構成します。逆計量は、この誘導計量の行列から計算します。

declare symbol r, θ : MathValue

def x : Vector MathValue := [| r, θ |]
def position : Vector MathValue := [| r * cos θ, r * sin θ |]

def e_i_j : Matrix MathValue := ∂/∂ position_j x~i
def g_i_j : Matrix MathValue :=
  generateTensor (\[a, b] -> V.* e_a_# e_b_#) [2, 2]
def g~i~j : Matrix MathValue := M.inverse g_#_#

def f : MathValue := function (r, θ)

g_#_#

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^{2} \\ \end{pmatrix}_{\#\#}^{\;\;}$

共変微分による導出¶

スカラー場に対するラプラス–ベルトラミ作用素は次のように書けます。

$$ \Delta f=g^{ij}\partial_i\partial_jf -g^{ij}\Gamma^k{}_{ij}\partial_kf. $$

Egisonは、この式に現れる重複したテンソル添字をそのまま縮約します。

def Γ_i_j_k : Tensor MathValue :=
  (1 / 2) *
    (∂/∂ g_i_k x~j + ∂/∂ g_i_j x~k - ∂/∂ g_j_k x~i)

def Γ~i_j_k : Tensor MathValue := withSymbols [m]
  g~i~m . Γ_m_j_k

def laplacian : MathValue := withSymbols [i, j, k]
  g~i~j . ∂/∂ (∂/∂ f x~j) x~i
    - g~i~j . Γ~k_i_j . ∂/∂ f x~k

計算結果¶

$$ \Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial r^2} +\frac1r\frac{\partial f}{\partial r} +\frac1{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}. $$

laplacian

$\frac{\partial^2 f}{\partial 1^2} + \frac{\partial f}{\partial 1} r^{-1} + \frac{\partial^2 f}{\partial 2^2} r^{-2}$

連鎖律による検算¶

最後に、2変数の直交座標関数を新しい座標の関数とみなします。上に示した座標表示を展開すると、すべての混合偏微分が打ち消し合い、直交座標のラプラシアンだけが残るはずです。

def X : MathValue := r * cos θ
def Y : MathValue := r * sin θ
def u : MathValue := function (X, Y)

def uR : MathValue := ∂/∂ u r
def uRR : MathValue := ∂/∂ (∂/∂ u r) r
def uΘΘ : MathValue := ∂/∂ (∂/∂ u θ) θ

uRR + uR / r + uΘΘ / r^2

$\frac{\partial^2 u}{\partial 2^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial 1^2}$

展開結果は$u_{XX}+u_{YY}$となります。これにより、角度方向の尺度の変化が$r^{-1}u_r$の項によって補正されることが確認できます。

2次元極座標のラプラシアン¶

座標と計量¶

共変微分による導出¶

計算結果¶

連鎖律による検算¶

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