偏微分の順序¶

十分に滑らかな関数では、混合偏微分の順序を交換できます。ここではクレローの定理を次の関数で確かめます。

$$ f(x,y,z)=\frac{x^5y^3}{z}, $$

各変数について1回ずつ、いくつかの異なる順序で偏微分します。

関数の定義¶

型注釈を明示することで、Egisonカーネルが扱う記号計算の領域が明確になります。

declare symbol x, y, z : MathValue

def f (x : MathValue) (y : MathValue) (z : MathValue) : MathValue :=
  x^5 * y^3 / z

f x y z

$x^{5} y^{3} z^{-1}$

$x$、$y$、$z$の順に偏微分すると、次の結果になるはずです。

$$ \partial_z\partial_y\partial_x f =-\frac{15x^4y^2}{z^2}. $$

∂/∂ (∂/∂ (∂/∂ (f x y z) x) y) z

$-15 x^{4} y^{2} z^{-2}$

同じ計算を$z,y,x$および$y,z,x$の順でも行います。3つの出力がすべて等しいことは、領域$z\ne0$におけるクレローの定理を計算として確かめたものです。

∂/∂ (∂/∂ (∂/∂ (f x y z) z) y) x

$-15 x^{4} y^{2} z^{-2}$

∂/∂ (∂/∂ (∂/∂ (f x y z) y) z) x

$-15 x^{4} y^{2} z^{-2}$

どの順序からも同じ有理式が得られます。この例から、Egisonでは偏微分の順序を補助関数名に埋め込むのではなく、微分する変数を明示したまま計算できることも分かります。