フーリエ級数から導くライプニッツの公式¶

ライプニッツ級数

$$ \frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots $$

は、のこぎり波$f(x)=x$のフーリエ級数に$x=\pi/2$を代入すると得られます。このNotebookでは、代入する前にフーリエ係数を記号的に導出します。

のこぎり波とその係数¶

$f$は奇関数なので、正弦項だけが現れます。

$$ x=\sum_{k=1}^{\infty}b_k\sin(kx),\qquad b_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(kx)\,dx. $$

declare symbol x, n : MathValue

def f (x : MathValue) : MathValue := x

def cosinePrimitive (k : MathValue) : MathValue :=
  x * sin (k * x) / k + cos (k * x) / k^2

def sinePrimitive (k : MathValue) : MathValue :=
  (- x) * cos (k * x) / k + sin (k * x) / k^2

def cosineCoefficients : [MathValue] :=
  map
    (\k ->
      let primitive := cosinePrimitive k
       in (substitute [(x, π)] primitive - substitute [(x, - π)] primitive) / π)
    nats

def sineCoefficients : [MathValue] :=
  map
    (\k ->
      let primitive := sinePrimitive k
       in (substitute [(x, π)] primitive - substitute [(x, - π)] primitive) / π)
    nats

take 10 sineCoefficients

$\{2, -1, \frac{2}{3}, \frac{-1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{-1}{3}, \frac{2}{7}, \frac{-1}{4}, \frac{2}{9}, \frac{-1}{5}\}$

フーリエ級数の各項¶

次にEgisonで、各係数と対応する基底関数を組み合わせます。

def fourierTerms : [MathValue] :=
  map (\(k, b) -> b * sin (k * x)) (zip nats sineCoefficients)

take 10 fourierTerms

$\{2 \sin(x), -\sin(2 x), \frac{2}{3} \sin(3 x), \frac{-1}{2} \sin(4 x), \frac{2}{5} \sin(5 x), \frac{-1}{3} \sin(6 x), \frac{2}{7} \sin(7 x), \frac{-1}{4} \sin(8 x), \frac{2}{9} \sin(9 x), \frac{-1}{5} \sin(10 x)\}$

$x=\pi/2$での値¶

偶数次の調波は0になり、奇数次の調波は符号が交互に変わります。次の厳密な4周期のパターンを記述します。

$$ \sin(k\pi/2)=1,0,-1,0,\ldots $$

そのうえでフーリエ級数の各項を2で割ります。したがって恒等式 $\pi/2=2(1-1/3+1/5-\cdots)$から、求める級数が得られます。

def sinAtHalfPi (k : Integer) : MathValue :=
  if isEven k
    then 0
    else (-1) ^ (i.quotient (k - 1) 2)

def leibnizTerms : [MathValue] :=
  map
    (\(k, b) -> b * sinAtHalfPi k / 2)
    (zip nats sineCoefficients)

take 10 leibnizTerms

$\{1, 0, \frac{-1}{3}, 0, \frac{1}{5}, 0, \frac{-1}{7}, 0, \frac{1}{9}, 0\}$

0でない成分を読むと$1,-1/3,1/5,-1/7,\ldots$が得られ、その無限和は$\pi/4$です。間に現れる0は、$\pi/2$で消える偶数次のフーリエモードに対応しています。

フーリエ級数から導くライプニッツの公式¶

のこぎり波とその係数¶

フーリエ級数の各項¶

$x=\pi/2$での値¶

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