極座標のホッジラプラシアン

以下の数式が正しいことをホッジラプラシアンを展開することにより確かめます。

`Delta = d delta + delta d`
`u_(x x) + u_(y y) = u_(r r) + (1 / r) u_r + (1 / r^2) u_(theta theta)` declare symbol r, θ: MathExpr -- Parameters and metrics def N : Integer := 2 def x : Vector MathExpr := [|r, θ|] def g_i_j : Matrix MathExpr := [| [| 1, 0 |], [| 0, r^2 |] |]_i_j def g~i~j : Matrix MathExpr := [| [| 1, 0 |], [| 0, 1 / r^2 |] |]~i~j -- Hodge Laplacian def d (A: Tensor MathExpr) : Tensor MathExpr := !(flip ∂/∂) x A def hodge (A: Tensor MathExpr) : Tensor MathExpr := let k := dfOrder A in withSymbols [i, j] (sqrt (M.det g_#_#)) * (foldl (.) ((ε' N k)_(i_1)..._(i_N) . A..._(j_1)..._(j_k)) (map 1#g~(i_$1)~(j_$1) [1..k])) def δ (A: Tensor MathExpr) : Tensor MathExpr := let k := dfOrder A in -1^(N * (k + 1) + 1) * (hodge (d (hodge A))) def Δ (A: Tensor MathExpr) : Tensor MathExpr := match (dfOrder A) as integer with | #0 -> δ (d A) | #N -> d (δ A) | _ -> d (δ A) + δ (d A) def f : MathExpr := function (r, θ) assertEqual "Laplacian" (Δ f) ((-1 / r^2) * ((∂/∂ (∂/∂ f θ) θ) + r * (∂/∂ f r) + (r^2 * (∂/∂ (∂/∂ f r) r))))

リンク

Egison 数学ノート目次に戻る