極座標のホッジラプラシアン¶

このNotebookでは、計量と微分形式の演算子からスカラーに対するホッジラプラシアンを導出します。$r>0$ の極座標 $(r,\theta)$ では、

$$g=dr^2+r^2d\theta^2.$$

となります。以下で採用する余微分の規約では、結果は通常の座標表示による正符号のラプラス作用素に負号を付けたものになります。

極座標の計量¶

共変計量と反変計量の両方にテンソルの添字を明示します。これによりEgisonは、ホッジスターの公式に現れる縮約を自動的に処理できます。

declare symbol r, θ : MathValue

def N : Integer := 2
def x : Vector MathValue := [| r, θ |]

def g_i_j : Matrix MathValue :=
  [| [| 1, 0 |], [| 0, r ^ 2 |] |]_i_j
def g~i~j : Matrix MathValue :=
  [| [| 1, 0 |], [| 0, r ^ (-2) |] |]~i~j

g_#_#

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^{2} \\ \end{pmatrix}_{\#\#}^{\;\;}$

外微分とホッジスター¶

ホッジスターは、レヴィ・チヴィタテンソル、逆計量、体積密度 $\sqrt{|g|}=r$ を組み合わせて定義されます。

def d (A : Tensor MathValue) : Tensor MathValue :=
  !(flip ∂/∂) x A

def hodge (A : Tensor MathValue) : Tensor MathValue :=
  let k := dfOrder A
   in withSymbols [i, j]
        sqrt (M.det g_#_#) *
        foldl
          (.)
          ((subrefs A (map 1#j_$1 (between 1 k))) .
           (subrefs (ε' N k) (map 1#i_$1 (between 1 N))))
          (map 1#g~(i_$1)~(j_$1) [1..k])

余微分とラプラシアン¶

余微分は $d$ の計量に関する随伴であり、二つのホッジスターを用いて表せます。形式の次数を調べることで、0形式と最高次形式に適した端点の公式を選択します。

def δ (A : Tensor MathValue) : Tensor MathValue :=
  let k := dfOrder A
   in (-1) ^ (N * (k + 1) + 1) * (hodge (d (hodge A)))

def Δ (A : Tensor MathValue) : Tensor MathValue :=
  match (dfOrder A) as integer with
  | #0 -> δ (d A)
  | #N -> d (δ A)
  | _  -> d (δ A) + δ (d A)

def f : MathValue := function (r, θ)

任意のスカラー関数に作用素を適用し、導関数を記号のまま残すことで、座標表示の公式を直接確認できます。

Δ f

$-\frac{\partial^2 f}{\partial 1^2} - \frac{\partial f}{\partial 1} r^{-1} - \frac{\partial^2 f}{\partial 2^2} r^{-2}$

表示される式は

$$ \Delta f=-\left( \frac{\partial^2f}{\partial r^2} +\frac1r\frac{\partial f}{\partial r} +\frac1{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2} \right). $$

です。$1/r$ と $1/r^2$ の項を手作業で加えているわけではありません。これらはホッジスターに含まれる計量の行列式と逆計量から現れます。

極座標のホッジラプラシアン¶

極座標の計量¶

外微分とホッジスター¶

余微分とラプラシアン¶

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