3次元ユークリッド空間のホッジスター¶

計量と向きを定めると、$k$ 形式を $(3-k)$ 形式と対応付けられます。向き付けられたユークリッド座標では、

$$\star dx=dy\wedge dz,\qquad \star(dx\wedge dy)=dz.$$

となります。ホッジスターは、微分形式の計算に計量が現れる箇所です。

ユークリッド計量と基底形式¶

$(x,y,z)$ 上の単位行列による計量と標準的な向きを用います。計量を記号的な数式値の行列として型付けすることで、同じ定義パターンを成分が定数でない計量にも適用できます。

declare symbol x, y, z : MathValue

def N : Integer := 3
def params : Vector MathValue := [| x, y, z |]
def g : Matrix MathValue :=
  [| [| 1, 0, 0 |], [| 0, 1, 0 |], [| 0, 0, 1 |] |]

def dx : DiffForm MathValue := [| 1, 0, 0 |]
def dy : DiffForm MathValue := [| 0, 1, 0 |]
def dz : DiffForm MathValue := [| 0, 0, 1 |]

ホッジスターの定義¶

$k$ 形式 $A$ に対し、レヴィ・チヴィタテンソルが相補的な添字を与え、逆計量が縮約する添字を上げ、$\sqrt{|\det g|}$ が体積密度を与えます。

def hodge (A : DiffForm MathValue) : DiffForm MathValue :=
  let k := dfOrder A
   in withSymbols [i, j]
        sqrt (abs (M.det g_#_#)) *
        foldl
          (.)
          ((ε' N k)_(i_1)..._(i_N) . A..._(j_1)..._(j_k))
          (map (\n -> g~(i_n)~(j_n)) [1..k])

1形式は、向き付けられた相補平面上の2形式へ写ります。

hodge dx

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

逆に、$xy$ 平面の向き付けられた面積形式は、その平面に垂直な1形式へ写ります。

hodge (wedge dx dy)

$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\ \end{pmatrix}$

二つの出力は、$\star dx=dy\wedge dz$ と $\star(dx\wedge dy)=dz$ を成分で表したものです。3次元ユークリッド計量では、 1形式または2形式に $\star$ を2回適用すると正符号で元に戻ります。計量の符号を変えるとこの符号も変化することを、ミンコフスキー空間のNotebookで確認します。

3次元ユークリッド空間のホッジスター¶

ユークリッド計量と基底形式¶

ホッジスターの定義¶

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