グラフ曲面のガウス曲率と平均曲率¶
3次元ユークリッド空間内の曲面を、次のグラフとして表します。
$$ X(x,y)=(x,y,f(x,y)). $$
このNotebookでは、第一基本形式と第二基本形式を導出し、ガウス曲率$K$と 平均曲率$H$を計算します。Egisonは任意関数$f$の導関数を記号のまま 扱います。
接平面¶
座標接ベクトルは次のとおりです。
$$ X_x=(1,0,f_x),\qquad X_y=(0,1,f_y). $$
その外積は$(-f_x,-f_y,1)$なので、ノルムは $W=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$となります。
declare symbol x, y: MathValue
def f : MathValue := function (x, y)
def X : Vector MathValue := [| x, y, f x y |]
def vx : Vector MathValue := [| 1, 0, ∂/∂ (f x y) x |]
def vy : Vector MathValue := [| 0, 1, ∂/∂ (f x y) y |]
vx
vy
向き付けられた単位法線¶
上向きの法線を選びます。
$$ n=\frac{X_x\times X_y}{\lVert X_x\times X_y\rVert}. $$
この向きを反転すると$H$の符号は変わりますが、$K$は変わりません。
def normalNumerator : Vector MathValue := crossProduct vx vy
def W : MathValue := sqrt (V.* normalNumerator normalNumerator)
def normal : Vector MathValue := normalNumerator / W
normalNumerator
normal
第一基本形式と第二基本形式¶
次のようにおくと、
$$ I=E\,dx^2+2F\,dx\,dy+G\,dy^2, \qquad II=L\,dx^2+2M\,dx\,dy+N\,dy^2, $$
各係数は、接ベクトルどうしの内積、および接ベクトルの導関数と 選んだ法線との内積として求められます。
def E : MathValue := V.* vx vx
def F : MathValue := V.* vx vy
def G : MathValue := V.* vy vy
def L : MathValue := V.* (∂/∂ vx x) normal
def M : MathValue := V.* (∂/∂ vx y) normal
def N : MathValue := V.* (∂/∂ vy y) normal
(E, F, G)
(L, M, N)
曲率¶
形作用素の行列式とトレースから、次の式が得られます。
$$ K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2},\qquad H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}. $$
これらの公式は、グラフ座標が正則なすべての点で成り立ちます。 グラフ曲面では$EG-F^2=1+f_x^2+f_y^2$は常に正です。
def K : MathValue := (L * N - M^2) / (E * G - F^2)
def H : MathValue := (E * N - 2 * F * M + G * L) / (2 * (E * G - F^2))
K
H
幾何学的な意味¶
$K$は内在的な量であり、曲面上で測った距離だけから完全に復元できます。 その値が正、0、負である場合は、それぞれ局所的な楕円型、放物型、 双曲型の振る舞いに対応します。一方、$H$は外在的な量で、埋め込みと 向きに依存します。方程式$H=0$はグラフ曲面の極小曲面方程式です。