オイラーの公式¶

オイラーの公式は、指数関数と円運動を結び付けます。

$$ e^{ix}=\cos x+i\sin x. $$

この恒等式を係数ごとに確かめます。Egisonで記号式を微分し、両辺のマクローリン展開の各項を生成します。

指数関数のマクローリン展開¶

関数$F$を原点のまわりで展開したとき、$n$次の項は

$$ \frac{F^{(n)}(0)}{n!}x^n. $$

まず、$e^{ix}$の最初の8項を求めます。

declare symbol x : MathValue

take 8 (taylorExpansion (e^(i * x)) x 0)

$\{1, i x, \frac{-1}{2} x^{2}, \frac{-1}{6} i x^{3}, \frac{1}{24} x^{4}, \frac{1}{120} i x^{5}, \frac{-1}{720} x^{6}, \frac{-1}{5040} i x^{7}\}$

偶数次の項は$\cos x$に、奇数次の項は$i\sin x$に現れます。 2つの級数を別々に計算することで、この偶奇による分かれ方が明確になります。

take 8 (taylorExpansion (cos x) x 0)

$\{1, 0, \frac{-1}{2} x^{2}, 0, \frac{1}{24} x^{4}, 0, \frac{-1}{720} x^{6}, 0\}$

take 8 (taylorExpansion (i * sin x) x 0)

$\{0, i x, 0, \frac{-1}{6} i x^{3}, 0, \frac{1}{120} i x^{5}, 0, \frac{-1}{5040} i x^{7}\}$

2つのリストを加えると、表示したすべての次数について指数関数の級数が再現されるはずです。

take 8
  (map2 (+)
    (taylorExpansion (cos x) x 0)
    (taylorExpansion (i * sin x) x 0))

$\{1, i x, \frac{-1}{2} x^{2}, \frac{-1}{6} i x^{3}, \frac{1}{24} x^{4}, \frac{1}{120} i x^{5}, \frac{-1}{720} x^{6}, \frac{-1}{5040} i x^{7}\}$

最後のリストは$e^{ix}$の展開と一致します。この計算は、$x$に数値を代入することなく、オイラーの公式が形式的冪級数の恒等式であることを示しています。