2次元球面のオイラー形式¶
向き付けられた階数2の接束のオイラー類は、曲率2形式によって表されます。 丸い球面に対しては
$$\int_{S^2} e(TS^2)=\chi(S^2)=2.$$
となります。埋め込みから計量を計算し、接続を正規直交枠へ変換してから、 カルタンの曲率方程式を適用します。
埋め込みと誘導計量¶
半径 $r$ の球面を $(\theta,\phi)$ でパラメーター表示します。計量を 入力として与えるのではなく、座標接ベクトル同士の内積から導きます。
declare symbol r, θ, φ : MathValue
def x : Vector MathValue := [| θ, φ |]
def X : Vector MathValue :=
[| r * sin θ * cos φ
, r * sin θ * sin φ
, r * cos θ |]
def e_i_j : Matrix MathValue := ∂/∂ X_j x~i
def g_i_j : Matrix MathValue :=
generateTensor (\[a, b] -> V.* e_a_# e_b_#) [2, 2]
def g~i~j : Matrix MathValue := M.inverse g_#_#
g_#_#
レヴィ・チヴィタ接続と正規直交枠¶
対角な多脚場（vielbein）は、座標基底を $r$ と $r\sin\theta$ で スケール変換します。 枠の変換 $A$ のもとで、接続は
$$\omega=A^{-1}\omega_0A+A^{-1}dA.$$
def Γ_i_j_k : Tensor MathValue :=
(1 / 2) *
(∂/∂ g_i_k x~j + ∂/∂ g_i_j x~k - ∂/∂ g_j_k x~i)
def Γ~i_j_k : Tensor MathValue := withSymbols [m]
g~i~m . Γ_m_j_k
def A : Matrix MathValue :=
[| [| 1 / r, 0 |], [| 0, 1 / (r * sin θ) |] |]
def d (t : Tensor MathValue) : Tensor MathValue :=
!(flip ∂/∂) x t
def ω0~i_j : Matrix MathValue := Γ~i_j_#
def ω~i_j : Tensor MathValue := withSymbols [a, b]
(M.inverse A)~i_a . ω0~a_b . A~b_j
+ (M.inverse A)~i_a . d A~a_j
曲率とオイラー形式¶
カルタンの第2方程式から $\Omega$ が得られます。2次元では、 パフィアン（Pfaffian）は2つの非対角な曲率成分の差に帰着します。
def Ω~i_j : Tensor MathValue := withSymbols [k]
antisymmetrize (d ω~i_j + ω~i_k ∧ ω~k_j)
def eulerForm : Tensor MathValue :=
(1 / (4 * π)) * withSymbols [t1, t2]
(Ω~1_2_t1_t2 - Ω~2_1_t1_t2)
eulerForm
上三角側のテンソル成分は
$$e_{12}=\frac{\sin\theta}{4\pi}.$$
です。完全な反対称テンソルは $e_{12}$ と $e_{21}$ の両方を保持するため、 対応する向き付き微分形式の密度は
$$e(TS^2)=\frac{\sin\theta}{2\pi}\,d\theta\wedge d\phi.$$
となります。したがって
$$\int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi \frac{\sin\theta}{2\pi}\,d\theta\,d\phi=2,$$
となり、球面のオイラー標数が得られます。半径は相殺されるため、オイラー数が 計量の大きさに依存するのではなく、位相的な量であることが分かります。