Thurston例におけるWodzicki–Chern–Simons不変量

このNotebookは、論文 Diffeomorphism Groups of Circle Bundles over Integral Symplectic Manifolds の第4節にある数式処理計算を再現します。計量、曲率、 持ち上げた曲率テンソルを構成し、Wodzicki–Chern–Simons積分核をコンパクトな 有理式へ簡約します。

研究で使用した元のプログラムは EMR-Paper-Computation で保守されています。

Thurston計量

$\beta=1+\theta_2-\theta_2^2$ とおきます。以下の計量と逆計量は、座標枠 $(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4)$ で表されています。繰り返し現れる 2つの多項式をquoteすることで、テンソル計算の中間式をコンパクトに保ちます。

declare symbol θ₁, θ₂, θ₃, θ₄, κ, p

def x~i := [| θ₁, θ₂, θ₃, θ₄ |]~i
def β := `(1 + θ₂ - θ₂^2)

def g_i_j :=
  [|[| 1, 0, 0, 0 |],
    [| 0, 1, 0, 0 |],
    [| 0, 0, κ / sqrt β, (-1 * θ₂ * κ) / sqrt β |],
    [| 0, 0, (-1 * θ₂ * κ) / sqrt β, (`(1 + θ₂) * κ) / sqrt β |]|]

def g~i~j :=
  [|[| 1, 0, 0, 0 |],
    [| 0, 1, 0, 0 |],
    [| 0, 0, `(1 + θ₂) / (κ * sqrt β), θ₂ / (sqrt β * κ) |],
    [| 0, 0, θ₂ / (sqrt β * κ), 1 / (sqrt β * κ) |]|]

g_#_#
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{(-θ₂^{2} + θ₂ + 1)}^{-1} κ & -\sqrt{(-θ₂^{2} + θ₂ + 1)}^{-1} θ₂ κ \\ 0 & 0 & -\sqrt{(-θ₂^{2} + θ₂ + 1)}^{-1} θ₂ κ & \sqrt{(-θ₂^{2} + θ₂ + 1)}^{-1} (θ₂ + 1) κ \\ \end{pmatrix}_{\#\#}^{\;\;}$
withSymbols [i, j, k] g_i_j . g~j~k
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -(-θ₂^{2} + θ₂ + 1)^{-1} θ₂^{2} + (-θ₂^{2} + θ₂ + 1)^{-1} (θ₂ + 1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -(-θ₂^{2} + θ₂ + 1)^{-1} θ₂^{2} + (-θ₂^{2} + θ₂ + 1)^{-1} (θ₂ + 1) \\ \end{pmatrix}$

Levi-Civita接続と曲率

Egisonの記号的なテンソル添字を使って、通常の公式をそのまま記述します。

$$ \Gamma^c{}_{ab}=\frac12g^{ce} (\partial_ag_{be}+\partial_bg_{ae}-\partial_eg_{ab}), $$

続いて $R_{ijk}{}^l$ を計算します。上付きと下付きで繰り返す添字は . により 縮約されます。

def Γ~c_a_b := withSymbols [e]
  (1 / 2) * g~c~e . (∂/∂ g_b_e x~a + ∂/∂ g_a_e x~b - ∂/∂ g_a_b x~e)

def R_i_j_k~l := withSymbols [a]
  ∂/∂ Γ~l_j_k x~i - ∂/∂ Γ~l_i_k x~j
    + Γ~l_i_a . Γ~a_j_k - Γ~l_j_a . Γ~a_i_k

def R_i_j_k_l := withSymbols [a] R_i_j_k~a . g_a_l

Γ~1_1_1
$0$

複素構造と持ち上げた曲率

複素構造 $J$ とその共変微分から、円周束上の曲率 $R'$ が定まります。 第1座標はファイバー方向で、残りの4座標はThurston底空間に属します。

def J_a_b :=
  [|[| 0, 1, 0, 0 |],
    [| -1, 0, 0, 0 |],
    [| 0, 0, 0, κ |],
    [| 0, 0, -1 * κ, 0 |]|]

def J_a~c := withSymbols [b] J_a_b . g~b~c

def ∇J_m_a_b := withSymbols [n]
  ∂/∂ J_a_b x~m + Γ~n_m_a . J_n_b + Γ~n_m_b . J_a_n

def ∇J~m_a_b := withSymbols [t] ∇J_t_a_b . g~t~m
def ∇J_m~a_b := withSymbols [t] ∇J_m_t_b . g~t~a
def ∇J_m_a~b := withSymbols [t] ∇J_m_a_t . g~t~b

def δ :=
  generateTensor
    (\match as list integer with
       | [$n, #n] -> 1
       | [_, _] -> 0)
    [5, 5]

def R'{_i_j}_k~l : Tensor MathValue :=
  generateTensor
    (\match as list integer with
       | [#1, #1, _, _] -> 0
       | [_, _, #1, #1] -> 0
       | [#1, $b, #1, $d] -> -1 * p^2 * δ~(b - 1)_(d - 1)
       | [$a, #1, #1, $d] ->      p^2 * δ~(a - 1)_(d - 1)
       | [#1, $b, $c, #1] ->      p^2 * g_(b - 1)_(c - 1)
       | [$a, #1, $c, #1] -> -1 * p^2 * g_(a - 1)_(c - 1)
       | [#1, $b, $c, $d] -> -1 * p * ∇J_(b - 1)_(c - 1)~(d - 1)
       | [$a, #1, $c, $d] ->      p * ∇J_(a - 1)_(c - 1)~(d - 1)
       | [$a, $b, #1, $d] -> -1 * p * ∇J~(d - 1)_(a - 1)_(b - 1)
       | [$a, $b, $c, #1] ->      p * ∇J_(c - 1)_(a - 1)_(b - 1)
       | [$a, $b, $c, $d] -> R_(a - 1)_(b - 1)_(c - 1)~(d - 1)
                             - p^2 * J_(b - 1)_(c - 1) * J_(a - 1)~(d - 1)
                             + p^2 * J_(a - 1)_(c - 1) * J_(b - 1)~(d - 1)
                             + 2 * p^2 * J_(a - 1)_(b - 1) * J_(c - 1)~(d - 1))
    [5, 5, 5, 5]

Wodzicki–Chern–Simons縮約

交代縮約には $R'$ が3回現れます。生の結果にはquoteされた原子 $\beta$ の 負の冪が含まれます。$16\beta^8$ を掛けてLaurent分母を払い、quoteの定義関係に 対するGröbner基底を使って標準的な多項式正規形を求めたあと、分母を戻します。

def S := withSymbols [i, j, k]
  let (es, os) := evenAndOddPermutations 5 in
    sum (map (\σ -> R'_(σ 1)_j_1~i . R'_(σ 2)_(σ 3)_k~j . R'_(σ 4)_(σ 5)_i~k) es) -
    sum (map (\σ -> R'_(σ 1)_j_1~i . R'_(σ 2)_(σ 3)_k~j . R'_(σ 4)_(σ 5)_i~k) os)

def quoteGb :=
  groebnerBasis ['(1 + θ₂ - θ₂^2 - β), '(1 + θ₂ - `(1 + θ₂))]

def sSimplified := polyNF quoteGb (16 * β^8 * S) / (16 * β^8)

sSimplified
$192 p^{6} κ - 40 (-θ₂^{2} + θ₂ + 1)^{-2} p^{4} κ + \frac{-25}{16} (-θ₂^{2} + θ₂ + 1)^{-4} p^{2} κ$
def sClosedForm :=
  p^2 * κ * (-25 - 640 * p^2 * β^2 + 3072 * p^4 * β^4) / (16 * β^4)

sSimplified = sClosedForm
$True$

結果

Egisonは完全な縮約を次の形まで簡約します。

$$ S=192p^6\kappa-\frac{40p^4\kappa}{\beta^2} -\frac{25p^2\kappa}{16\beta^4} =\frac{p^2\kappa(-25-640p^2\beta^2+3072p^4\beta^4)} {16\beta^4}. $$

以前は外部の数式処理システムで簡約していた式を、現在はEgisonだけで計算し、 正規化できます。

リンク

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