EMR曲率公式における最高次係数¶
このNotebookは、論文 Diffeomorphism Groups of Circle Bundles over Integral Symplectic Manifolds の定理3.4で用いられる有限次元計算を再現します。 すべての置換について符号付き和を取り、標準複素構造のコピーを縮約します。
研究で使用した完全なコードは EMR-Paper-Computation で公開されています。
標準複素構造¶
$2k$ 次元実ベクトル空間上で
$$ J=\begin{pmatrix}0&I_k\\-I_k&0\end{pmatrix}. $$
とします。このNotebookでは、対話的にすばやく計算できるよう $k=2$ を使います。 最後の節では、まったく同じ定義を使ったより大きな計算結果も示します。
def k := 2
def J :=
generateTensor
(\match as list integer with
| [$i, #(i + k)] -> 1
| [$i, #(i - k)] -> -1
| _ -> 0)
[2 * k, 2 * k]
J
withSymbols [a, b, c] J_a~c . J_c~b
交代積¶
$S_k$ を次の積の符号付き和とします。
$$ S_k=\sum_{\sigma\in S_{2k}}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{k}J_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}. $$
evenAndOddPermutations は偶置換と奇置換を別々に生成します。
def S :=
let (es, os) := evenAndOddPermutations (2 * k) in
sum (map (\σ -> product (map (\i -> J_(σ (2 * i - 1))_(σ (2 * i))) (between 1 k))) es) -
sum (map (\σ -> product (map (\i -> J_(σ (2 * i - 1))_(σ (2 * i))) (between 1 k))) os)
S
曲率の係数¶
束のパラメータ $p$ の最高次項は、次のテンソルから構成されます。
$$ T_{abc}{}^d=-J_{bc}J_a{}^d+J_{ac}J_b{}^d +2J_{ab}J_c{}^d. $$
添字 $a_0,\ldots,a_{k-1}$ は巡回的な鎖を作ります。テンソル積に続く . が
この鎖を縮約し、外側の畳み込みが偶置換と奇置換からの寄与を加算します。
def T_a_b_c~d :=
-1 * J_b_c . J_a~d +
J_a_c . J_b~d +
2 * J_a_b . J_c~d
def S' :=
withSymbols [a]
let (es, os) := evenAndOddPermutations (2 * k) in
(\xs -> foldl (+) (head xs) (tail xs))
(map
(\σ ->
(\xs -> foldl (.) (head xs) (tail xs))
(map (\i -> T_(σ (2 * i - 1))_(σ (2 * i))_(a_(modulo i k))~(a_(i - 1))) (between 1 k)))
es) -
(\xs -> foldl (+) (head xs) (tail xs))
(map
(\σ ->
(\xs -> foldl (.) (head xs) (tail xs))
(map (\i -> T_(σ (2 * i - 1))_(σ (2 * i))_(a_(modulo i k))~(a_(i - 1))) (between 1 k)))
os)
S'
より高い次元¶
同じプログラムから次の結果が得られます。
$$ \begin{array}{c|rr} k&S_k&S'_k\\ \hline 2&-8&192\\ 3&-48&0\\ 4&384&61440 \end{array} $$
Egison 5.1.0で $k=4$ の完全な計算には約25分かかります。対話的なNotebookを
$k=2$ にしておくことで、各セルをすばやく再実行できます。最初の定義を
def k := 4 に変えるだけで、他のコードを変更せずに定理3.4の完全な計算を
実行できます。