球面上の曲率2形式¶

リーマンテンソルは、クリストッフェル記号から直接計算することも、接続1形式の曲率として組み立てることもできます。カルタンの第2構造方程式は

$$\Omega^i{}_j=d\omega^i{}_j+\omega^i{}_k\wedge\omega^k{}_j,$$

であり、$\Omega^i{}_j=\tfrac12R^i{}_{jkl}\,dx^k\wedge dx^l$ です。

$S^2$ 上の丸い計量¶

半径 $r$、座標 $(\theta,\phi)$ の球面に対して、計量は

$$g_{ij}=\operatorname{diag}(r^2,r^2\sin^2\theta).$$

declare symbol r, θ, φ : MathValue

def x : Vector MathValue := [| θ, φ |]
def g_i_j : Matrix MathValue :=
  [| [| r ^ 2, 0 |], [| 0, r ^ 2 * (sin θ) ^ 2 |] |]_i_j
def g~i~j : Matrix MathValue :=
  [| [| 1 / r ^ 2, 0 |]
   , [| 0, 1 / (r ^ 2 * (sin θ) ^ 2) |] |]~i~j

g_#_#

$\begin{pmatrix} r^{2} & 0 \\ 0 & \sin(θ)^{2} r^{2} \\ \end{pmatrix}_{\#\#}^{\;\;}$

リーマンテンソルの直接計算¶

レヴィ・チヴィタ接続は、計量適合性と捩率がゼロであることから得られます。 Egisonでは、重複する記号添字によって $m$ に関する縮約を実行します。

def Γ_j_l_k : Tensor MathValue :=
  (1 / 2) *
    (∂/∂ g_j_l x~k + ∂/∂ g_j_k x~l - ∂/∂ g_k_l x~j)

def Γ~i_k_l : Tensor MathValue :=
  withSymbols [j] g~i~j . Γ_j_l_k

def R~i_j_k_l : Tensor MathValue := withSymbols [m]
  ∂/∂ Γ~i_j_l x~k - ∂/∂ Γ~i_j_k x~l
  + Γ~m_j_l . Γ~i_m_k - Γ~m_j_k . Γ~i_m_l

R~#_#_1_2

$\begin{pmatrix} 0 & \sin(θ)^{2} \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}_{\;\#}^{\#\;}$

カルタンの曲率形式¶

クリストッフェル記号の最後の添字を1形式の添字とみなします。外微分により形式添字が1つ加わり、antisymmetrize によって結果を2形式へ射影します。

def d (t : Tensor MathValue) : Tensor MathValue :=
  !(flip ∂/∂) x t

def ω~i_j : Matrix MathValue := Γ~i_j_#

def Ω~i_j : Tensor MathValue := withSymbols [k]
  antisymmetrize (d ω~i_j + ω~i_k ∧ ω~k_j)

Ω~#_#_1_2

$\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \sin(θ)^{2} \\ \frac{-1}{2} & 0 \\ \end{pmatrix}_{\;\#}^{\#\;}$

曲率形式の成分は、対応するリーマンテンソルの直接計算による成分の半分です。これは $\Omega^i{}_j=\tfrac12R^i{}_{jkl}dx^k\wedge dx^l$ が要求する通りです。したがって2つの計算経路は一致しますが、それぞれ異なる幾何学的な見方を示します。前者は座標添字を使い、後者は曲率を接続の場の強さとして扱います。

球面上の曲率2形式¶

$S^2$ 上の丸い計量¶

リーマンテンソルの直接計算¶

カルタンの曲率形式¶

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