$\mathbb{CP}^1$ 上の第1チャーン形式

複素直線束は、ユニタリ接続の曲率によって特徴付けられます。 $\mathbb{CP}^1$ のアフィンチャート上で、複素座標

$$u=r e^{2\pi i\theta},\qquad \bar u=r e^{-2\pi i\theta}.$$

を使います。フビニ＝スタディ接続とその曲率、そして正規化された第1チャーン 形式を計算します。

極座標チャートと接続1形式

チャートの変数を $(r,\theta)$ とし、$r\ge0$、$0\le\theta<1$ とします。 局所的な接続は

$$\omega=\frac{\bar u\,du}{1+u\bar u}.$$

declare symbol r, θ : MathValue

def params : Vector MathValue := [| r, θ |]
def u : MathValue := r * e ^ (2 * π * i * θ)
def ū : MathValue := r * e ^ ((-2) * π * i * θ)

def d (X : MathValue) : DiffForm MathValue :=
  !(flip ∂/∂) params X

def ω : DiffForm MathValue := ū * d u / '(1 + u * ū)

ω
$\begin{pmatrix} \frac{r}{r^{2} + 1} \\ \frac{2 i r^{2} π}{r^{2} + 1}\\ \end{pmatrix}$

曲率2形式

直線束の接続は可換なので、$\omega\wedge\omega=0$ であり、 $\Omega=d\omega$ となります。その反対称成分行列を明示的に表示します。

def ωr : MathValue := ω_1
def ωθ : MathValue := ω_2
def Ωrθ : MathValue :=
  (∂/∂ ωθ r - ∂/∂ ωr θ) / 2
def Ω : DiffForm MathValue :=
  [| [| 0, Ωrθ |], [| -Ωrθ, 0 |] |]

Ω
$\begin{pmatrix} 0 & \frac{2 i r π}{r^{4} + 2 r^{2} + 1} \\ \frac{-2 i r π}{r^{4} + 2 r^{2} + 1} & 0 \\ \end{pmatrix}$

第1チャーン形式

ここで採用する向きと接続の規約では、

$$c_1=\frac{\Omega}{-2\pi i}.$$

def c1Form : DiffForm MathValue := Ω / ((-2) * π * i)

c1Form
$\begin{pmatrix} 0 & \frac{-r}{r^{4} + 2 r^{2} + 1} \\ \frac{r}{r^{4} + 2 r^{2} + 1} & 0 \\ \end{pmatrix}$

完全な反対称形式には上三角側の成分が2回寄与するため、その向き付き密度は

$$-\frac{2r}{(1+r^2)^2}\,dr\wedge d\theta.$$

となります。$r\in[0,\infty)$、$\theta\in[0,1)$ の範囲で積分すると

$$\int_0^\infty\frac{-2r}{(1+r^2)^2}\,dr=-1.$$

となります。したがって、この規約は次数 $-1$ の直線束を記述しています。 向きを反転するか、双対接続を使うと、チャーン数の符号が反転します。

リンク

Egison 数学ノート目次に戻る