1の9乗根¶

1の9乗根を求める方程式は、次のように因数分解できます。

$$ x^9-1=(x^3-1)(x^6+x^3+1). $$

円分因子 $\Phi_9(x)=x^6+x^3+1$ を解きます。原始9乗根 $\zeta=\exp(2\pi i/9)$ について、その結果から次の式が得られます。

$$ \cos\frac{2\pi}{9} =\frac{\sqrt[3]{\omega}+\sqrt[3]{\omega^2}}{2}, \qquad \omega^3=1,\ \omega\ne1. $$

原始根の共役な対¶

法 $9$ における原始根の指数類は $1,2,4,5,7,8$ です。逆元どうしを組にすると、三つの実周期が得られます。それらの和は0であり、原始9乗根の和が0になることと一致します。

def z : MathValue := rtu 9

def a11 : MathValue := z ^ 1 + z ^ 8
def a12 : MathValue := z ^ 2 + z ^ 7
def a13 : MathValue := z ^ 4 + z ^ 5

def b10 : MathValue := a11 + a12 + a13

def cyclotomic9 : MathValue :=
  '((rtu 9)^6 + (rtu 9)^3 + 1)

def reduce9 (v : MathValue) : MathValue :=
  idealNFWith [w] [cyclotomic9] v

def b10' : MathValue := reduce9 b10

b10'

$0$

現代的な3点レゾルベント¶

指数を $2$ 倍すると、三つの周期が巡回します。次の型付き定義は、この巡回作用に対する二つの非自明なフーリエ・レゾルベントです。ここでは、現行のEgison構文に合わせて新たに記述しています。

def b11 : MathValue := a11 + w * a12 + w ^ 2 * a13
def b12 : MathValue := a13 + w * a11 + w ^ 2 * a12
def b13 : MathValue := a12 + w * a13 + w ^ 2 * a11

def b14 : MathValue := a11 + w * a13 + w ^ 2 * a12
def b15 : MathValue := a12 + w * a11 + w ^ 2 * a13
def b16 : MathValue := a13 + w * a12 + w ^ 2 * a11

def b11Cube : MathValue := reduce9 (b11 * b12 * b13)
def b14Cube : MathValue := reduce9 (b14 * b15 * b16)

(b11Cube, b14Cube, b11Cube * b14Cube)

$(27 w, -27 w - 27, 729)$

立方根の分枝を選ぶ¶

二つの積は $27\omega$ と $27\omega^2$ に簡約され、その積は $9^3$ です。積が $9$ となり、再構成された周期が $a_{11}'>1$ を満たすよう、互いに共役な立方根の分枝を選びます。これにより、周期 $2\cos(2\pi/9)$ が一意に選ばれます。それらの立方根を取り、逆フーリエ変換を適用すると、次の式が得られます。

$$ a_{11}'=\sqrt[3]{\omega}+\sqrt[3]{\omega^2} =2\cos(2\pi/9). $$

def b11' : MathValue := rt 3 b11Cube
def b14' : MathValue := rt 3 b14Cube

def a11' : MathValue := (b10' + b11' + b14') / 3

a11' / 2

$\frac{1}{2} \sqrt[3]{w} + \frac{1}{2} \sqrt[3]{-w - 1}$

原始9乗根を復元する¶

先ほどと同様に、$\zeta+\zeta^{-1}=a_{11}'$ を使うと、最後の段階は二次方程式 $x^2-a_{11}'x+1=0$ を解くことに帰着します。

def quadraticRoots9
  (a : MathValue)
  (b : MathValue)
  (c : MathValue)
  : (MathValue, MathValue) :=
  ( ((- b) + sqrt (b ^ 2 - 4 * a * c)) / (2 * a)
  , ((- b) - sqrt (b ^ 2 - 4 * a * c)) / (2 * a) )

def z1' : MathValue := fst (quadraticRoots9 1 (- a11') 1)

z1'

$\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt[3]{w}^{2} + \sqrt[3]{-w - 1}^{2} + 2 \sqrt[3]{-w - 1} \sqrt[3]{w} - 4} + \frac{1}{2} \sqrt[3]{w} + \frac{1}{2} \sqrt[3]{-w - 1}$

構成した冪根表示は、最後の二次方程式を厳密に満たします。

z1' ^ 2 - a11' * z1' + 1

$0$

円分方程式の検算¶

1の冪根を表す厳密なオブジェクトにより、9乗に関する関係式と原始根の円分因子をどちらも確認できます。

(z ^ 9, reduce9 (z ^ 6 + z ^ 3 + 1))

$(1, 0)$

まとめ¶

$x^9-1$ の因数分解によって6次の問題を切り出し、原始根の指数への巡回作用を利用して、立方根と一つの二次方程式へ還元しました。このノートブックは元のガロア理論的な考え方を保ちながら、現行の型付きEgison表層構文だけを使っています。