1の7乗根

Apr 7 2016

1の7乗根の冪根表示

1の7乗根について、

`cos((2pi)/7) = 1/6 (-1 + root 3 ((7 + 21 sqrt 3 i) / 2) + root 3 ((7 - 21 sqrt 3 i) / 2))`

であることが知られています。
以下のコードはこの値を実際に計算して求めています。

`x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0`

のガロア群が`ZZ//7ZZ-{0}`における乗法についての循環群と同じ構造であることを利用した解法で計算しています。

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def z := rtu 7

def a11 := z ^ 1 + z ^ 6

def a12 := z ^ 2 + z ^ 5

def a13 := z ^ 3 + z ^ 4

def b10 := a11 + a12 + a13

def b10' := b10

b10'

def b11 := a11 + w * a12 + w ^ 2 * a13

def b12 := a13 + w * a11 + w ^ 2 * a12

def b13 := a12 + w * a13 + w ^ 2 * a11

def b11' := rt 3 (b11 * b12 * b13)

b11'

def b14 := a11 + w * a13 + w ^ 2 * a12

def b15 := a12 + w * a11 + w ^ 2 * a13

def b16 := a13 + w * a12 + w ^ 2 * a11

def b14' := rt 3 (b14 * b15 * b16)

b14'

def a11' := (b10' + b11' + b14') / 3

a11'

def z1' := fst (qF' 1 (- a11') 1)

z1'

--((-1) + rt 3 (14 + 21 * w) + rt 3 ((-7) + (-21) * w) +
--sqrt
--  ((-35) + (-2) * rt 3 (14 + 21 * w) + (-2) * rt 3 ((-7) + (-21) * w) +
--  rt 3 (14 + 21 * w) ^ 2 + rt 3 ((-7) + (-21) * w) ^ 2 +
--  2 * rt 3 (14 + 21 * w) * rt 3 ((-7) + (-21) * w))) / 6

方程式を解くもう1つの道筋

`ZZ//7ZZ-{0}`は位数2と位数3の正規部分群を持ちます。
上記のプログラムは、位数2の正規部分群による対称性を最初に利用しました。
下記のプログラムは、位数3の正規部分群による対称性を最初に利用します。

<html>
<head><title>404 Not Found</title></head>
<body bgcolor="white">
<center><h1>404 Not Found</h1></center>
<hr><center>nginx/1.14.0 (Ubuntu)</center>
</body>
</html>

リンク

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