1の7乗根¶

1の原始7乗根 $\zeta$ は、次の方程式を満たします。

$$ \Phi_7(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0. $$

六つの原始7乗根には、$(\mathbb Z/7\mathbb Z)^\times$ が置換として作用します。まず複素共役による商を取り、三つの実周期を残します。次に、1の3乗根上の 3点フーリエ変換を使います。

三つの共役周期¶

指数 $k$ と $7-k$ を組にすると、$a_{11},a_{12},a_{13}$ が得られます。自明でない1の7乗根をすべて足した値が $-1$ なので、これらの和も $-1$ です。

def z : MathValue := rtu 7

def a11 : MathValue := z ^ 1 + z ^ 6
def a12 : MathValue := z ^ 2 + z ^ 5
def a13 : MathValue := z ^ 3 + z ^ 4

def b10 : MathValue := a11 + a12 + a13

def cyclotomic7 : MathValue :=
  '((rtu 7)^6 + (rtu 7)^5 + (rtu 7)^4
    + (rtu 7)^3 + (rtu 7)^2 + rtu 7 + 1)

def reduce7 (v : MathValue) : MathValue :=
  idealNFWith [w] [cyclotomic7] v

def b10' : MathValue := reduce7 b10

b10'

$-1$

フーリエ・レゾルベント¶

$\omega=(-1+i\sqrt3)/2$ とすると、位数3の巡回置換の二つの非自明な指標から、互いに共役な二組の三つ組が得られます。それぞれの三つ組の積を取れば、巡回置換による曖昧さが消えます。それらの積を $\Phi_7(\zeta)$ を法として簡約すると、$\omega$ だけの式が残るため、それぞれのフーリエ成分を一つの立方根から復元できます。

def b11 : MathValue := a11 + w * a12 + w ^ 2 * a13
def b12 : MathValue := a13 + w * a11 + w ^ 2 * a12
def b13 : MathValue := a12 + w * a13 + w ^ 2 * a11

def b14 : MathValue := a11 + w * a13 + w ^ 2 * a12
def b15 : MathValue := a12 + w * a11 + w ^ 2 * a13
def b16 : MathValue := a13 + w * a12 + w ^ 2 * a11

def b11Cube : MathValue := reduce7 (b11 * b12 * b13)
def b14Cube : MathValue := reduce7 (b14 * b15 * b16)

(b11Cube, b14Cube, b11Cube * b14Cube)

$(21 w + 14, -21 w - 7, 343)$

変換を逆にたどる¶

表示された二つの被開立方数は互いに共役で、その積は $7^3$ です。積が $7$ となり、再構成した実周期が正になるよう、互いに共役な立方根の分枝を選びます。それらを逆変換すると、$a_{11}=\zeta+\zeta^{-1}=2\cos(2\pi/7)$ が得られます。

def b11' : MathValue := rt 3 b11Cube
def b14' : MathValue := rt 3 b14Cube

def a11' : MathValue := (b10' + b11' + b14') / 3

a11' / 2

$\frac{1}{6} \sqrt[3]{3 w + 2} \sqrt[3]{7} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{-3 w - 1} \sqrt[3]{7} + \frac{-1}{6}$

1の7乗根そのものを復元する¶

$a_{11}'=\zeta+\zeta^{-1}$ が分かれば、$\zeta$ は次の二次方程式の解です。

$$ x^2-a_{11}'x+1=0. $$

選択した冪根の分枝により、共役な対のどちらが先に現れるかが決まります。

def quadraticRoots7
  (a : MathValue)
  (b : MathValue)
  (c : MathValue)
  : (MathValue, MathValue) :=
  ( ((- b) + sqrt (b ^ 2 - 4 * a * c)) / (2 * a)
  , ((- b) - sqrt (b ^ 2 - 4 * a * c)) / (2 * a) )

def z1' : MathValue := fst (quadraticRoots7 1 (- a11') 1)

z1'

$\frac{1}{6} \sqrt[3]{3 w + 2} \sqrt[3]{7} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{-3 w - 1} \sqrt[3]{7} + \frac{1}{6} \sqrt{\sqrt[3]{3 w + 2}^{2} \sqrt[3]{7}^{2} + \sqrt[3]{-3 w - 1}^{2} \sqrt[3]{7}^{2} + 2 \sqrt[3]{-3 w - 1} \sqrt[3]{3 w + 2} \sqrt[3]{7}^{2} - 2 \sqrt[3]{3 w + 2} \sqrt[3]{7} - 2 \sqrt[3]{-3 w - 1} \sqrt[3]{7} - 35} + \frac{-1}{6}$

最後の二次方程式に代入すると0になります。この検算は、入れ子になった平方根がどのような形に整形されているかに依存しません。

z1' ^ 2 - a11' * z1' + 1

$0$

まとめ¶

6次の円分方程式を、一つの3点変換、立方根、そして最後の二次方程式へ分解しました。コードはガロア群の部分群構造に沿っているため、各冪根がどこから生じたのかを明示できます。