1の5乗根¶
$\zeta=\exp(2\pi i/5)$ とおきます。1の原始5乗根は、次の方程式を 満たします。
$$ \Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0. $$
特に、
$$ \cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}. $$
この冪根表示を導く際には、ブラックボックスの多項式ソルバーに四つの解を一度に 求めさせるのではなく、$\zeta$ の冪を軌道ごとに整理します。
共役な冪を組にする¶
複素共役により、$\zeta$ と $\zeta^4$、$\zeta^2$ と $\zeta^3$ がそれぞれ 対になります。各対の対称和は実数です。この二つの対を足すと、すべての原始5乗根の 和である $-1$ が得られます。
def z : MathValue := rtu 5
def a11 : MathValue := z ^ 1 + z ^ 4
def a12 : MathValue := z ^ 2 + z ^ 3
def b10 : MathValue := a11 + a12
def b11 : MathValue := a11 - a12
def b12 : MathValue := a12 - a11
(b10, b11, b12)
最初の2点変換を逆変換する¶
和はすでに $b_{10}=-1$ と分かっています。差を二乗すれば符号の曖昧さが消えます。 平方根の分枝を選んで逆変換を適用すると、二つの実周期を再構成できます。
def b10' : MathValue := b10
def b11' : MathValue := sqrt (b11 ^ 2)
def a11' : MathValue := (b10' + b11') / 2
def a12' : MathValue := (b10' - b11') / 2
(a11', a12')
虚部を復元する¶
反対称な対 $\zeta-\zeta^{-1}$ と $\zeta^2-\zeta^{-2}$ が虚部を担います。 2回目の2点変換により、これらは平方根へ還元されます。その被開平数は、先ほど 求めた実周期だけに依存します。
def a21 : MathValue := z ^ 1 - z ^ 4
def a22 : MathValue := z ^ 2 - z ^ 3
def b20 : MathValue := a21 + a22
def b21 : MathValue := a21 - a22
def b22 : MathValue := a22 - a21
def b20' : MathValue := sqrt ((-3) + 4 * a12')
def b21' : MathValue := sqrt ((-3) + 4 * a11')
def a21' : MathValue := (b20' + b21') / 2
def a22' : MathValue := (b20' - b21') / 2
def z1' : MathValue := (a11' + a21') / 2
z1'
冪根の関係を検証する¶
入れ子になった平方根には、代数的な関係をもつ、分枝を表す記号が導入されます。 次のイデアルに、それらの定義関係を記録します。そのイデアルを法として $(z_1')^5-1$ を簡約すれば、浮動小数点による近似ではなく、厳密な記号計算として 検証できます。
def radicalRels : [MathValue] :=
[ '((sqrt (5 + 2 * sqrt 5)) ^ 2 - 5 - 2 * sqrt 5)
, '((sqrt (5 - 2 * sqrt 5)) ^ 2 - 5 + 2 * sqrt 5)
, '((sqrt (5 + 2 * sqrt 5))
* (sqrt (5 - 2 * sqrt 5))
- sqrt 5)
, '((sqrt 5) ^ 2 - 5)
, '(i ^ 2 + 1) ]
idealNF radicalRels (z1' ^ 5 - 1)
まとめ¶
黄金比でおなじみの平方根が現れるのは、$\Phi_5$ のガロア群を二段階の2点変換で 解けるためです。Egisonでは、軌道和の計算と冪根表示の厳密な検証を、同じ記号計算の 中で扱えます。