1の17乗根¶

正$17$角形が作図可能なのは、$17=2^{2^2}+1$ がフェルマー素数だからです。代数的には、次の円分多項式を考えます。

$$ \Phi_{17}(x)=x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1 $$

この多項式のガロア群の位数は $16$ です。したがって、指数2の部分群からなる列をたどることで、原始根を平方根だけで表せます。

八つの実ガウス周期¶

$\zeta=\exp(2\pi i/17)$ とおきます。それぞれの冪をその逆元と組にすると、次の八つの実数が得られます。

$$ a_k=\zeta^k+\zeta^{-k}=2\cos(2\pi k/17). $$

def z : MathValue := rtu 17

def a1 : MathValue := z ^ 1 + z ^ 16
def a2 : MathValue := z ^ 2 + z ^ 15
def a3 : MathValue := z ^ 3 + z ^ 14
def a4 : MathValue := z ^ 4 + z ^ 13
def a5 : MathValue := z ^ 5 + z ^ 12
def a6 : MathValue := z ^ 6 + z ^ 11
def a7 : MathValue := z ^ 7 + z ^ 10
def a8 : MathValue := z ^ 8 + z ^ 9

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8

$-1$

2点変換を繰り返す¶

法 $17$ の乗法群は巡回群です。以下の定義では、その部分群列に沿って和と差を繰り返し記録します。最上位の $d_{10}$ は、自明でない16個の1の17乗根をすべて足したものなので、$-1$ に等しくなります。

def b11 : MathValue := a1 + a4
def b12 : MathValue := a1 - a4
def b21 : MathValue := a2 + a8
def b22 : MathValue := a2 - a8
def b31 : MathValue := a3 + a5
def b32 : MathValue := a3 - a5
def b41 : MathValue := a6 + a7
def b42 : MathValue := a6 - a7

def c11 : MathValue := b11 + b21
def c12 : MathValue := b11 - b21
def c21 : MathValue := b31 + b41
def c22 : MathValue := b31 - b41

def d10 : MathValue := c11 + c21
def d11 : MathValue := c11 - c21
def d12 : MathValue := c21 - c11

(d10, d11, d12)

$(-1, -2 rtu(17)^{14} - 2 rtu(17)^{12} - 2 rtu(17)^{11} - 2 rtu(17)^{10} - 2 rtu(17)^{7} - 2 rtu(17)^{6} - 2 rtu(17)^{5} - 2 rtu(17)^{3} - 1, 2 rtu(17)^{14} + 2 rtu(17)^{12} + 2 rtu(17)^{11} + 2 rtu(17)^{10} + 2 rtu(17)^{7} + 2 rtu(17)^{6} + 2 rtu(17)^{5} + 2 rtu(17)^{3} + 1)$

部分群列を逆にたどる¶

各差の二乗は、一つ上の段階ですでに求めた量を使って表せます。互いに整合する平方根の分枝を選び、次の式を繰り返し適用すると、

$$ u=\frac{(u+v)+(u-v)}{2} $$

最初の周期 $a_1$ を再構成できます。

def d10' : MathValue := -1
def d11' : MathValue := sqrt 17

def c11' : MathValue := (d10' + d11') / 2
def c21' : MathValue := (d10' - d11') / 2
def c12' : MathValue := sqrt (8 + (- c11'))
def c22' : MathValue := sqrt (8 + (- c21'))

def b11' : MathValue := (c11' + c12') / 2
def b21' : MathValue := (c11' - c12') / 2
def b31' : MathValue := (c21' + c22') / 2
def b41' : MathValue := (c21' - c22') / 2

def b12' : MathValue := sqrt (4 + b21' + (-2) * b31')
def b22' : MathValue := sqrt (4 + b21' + (-2) * b41')
def b32' : MathValue := sqrt (4 + b41' + (-2) * b21')
def b42' : MathValue := sqrt (4 + b31' + (-2) * b21')

def a1' : MathValue := (b11' + b12') / 2

ガウスの余弦公式¶

$a_1'=2\cos(2\pi/17)$ なので、2で割ると、正$17$角形の古典的な作図に対応する入れ子状の平方根表示が得られます。

$$ \cos\frac{2\pi}{17} =\frac1{16}\left( -1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}} +2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}} -2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right). $$

a1' / 2

$\frac{1}{16} \sqrt{-\sqrt{17} + 17} \sqrt{2} + \frac{1}{16} \sqrt{17} + \frac{1}{8} \sqrt{-\sqrt{-\sqrt{17} + 17} \sqrt{2} - 2 \sqrt{\sqrt{17} + 17} \sqrt{2} + 3 \sqrt{17} + 17} + \frac{-1}{16}$

1の17乗根であることの検算¶

Egisonで表した1の冪根の厳密値は、数値的な丸めを行わず、定義関係をそのまま保持します。

z ^ 17

$1$

まとめ¶

入れ子になった冪根式は、ガロア群において指数2の部分群への還元を4回続けた過程を直接反映しています。この計算から、余弦の値だけでなく、定規とコンパスによる作図が可能である理由も分かります。