n次代数方程式の解法はn次対称群の構造と対応している。
この対応関係を使うと一般的な3次、4次方程式について解の公式が存在することや、
一般的な5次方程式について解の公式が存在しないことなどを簡潔に説明できる。
この説明において、正規部分群という概念が非常に重要に役割を果たす。
正規部分群と代数方程式の解法の必然的な関係を理解するには、3次、4次方程式の解法と、3次、4次対称群の構造をよく分析するのが手っ取り早い。
本記事は、3次方程式の解法と3次対称群の構造の関係を考察し、正規部分群と代数方程式の解法の必然的な関係についてまとめる。
乗算は数に対して定義されたものであったが、それを一般化し、色々な集合の上に定義して生まれた概念が群である。
ある集合Gとその要素間の演算*が以下の3つの条件を満たすとき、(G, *)は群であると定義される。
例えば、有理数全体の集合をQ、有理数上の乗算を*としたとき、(Q, *)は群である。
整数全体の集合をZとしたとき、(Z, *)は逆元の存在の条件を満たさないので群ではない。
n個の要素からなる順列の集合を考える。
例えば、3個の要素からなる順列は{1 2 3}、{2 1 3}、{1 3 2}、{3 1 2}、{2 3 1}、{3 1 2}の6通りある。
この集合の上で、1引数目の順列を2引数目の順列で並べ直す演算*を定義すると群となる。
このように並び替え操作について作られる群は対称群と呼ばれている。
{1 2 3} * {3 1 2} = {3 1 2} {2 1 3} * {3 1 2} = {3 2 1}
ところで、群上の2項演算*は可換とは限らない。例えば、
{2 1 3} * {3 1 2} = {3 2 1} {3 1 2} * {2 1 3} = {1 3 2}となる。
一般的に、n個の要素からなる集合の並び替えについての対称群はn次対称群と呼ばれており、その要素の個数はn!である。
n次対称群はS_nと表記される。群に含まれる要素の個数は位数と呼ばれる。
S_nの位数がn!であることを、order(S_n)=n!のように表記する。
群に含まれている群、部分群を通して群は観察される。
例えば({2 1 3}, {1 2 3})や({3 1 2}, {2 3 1}, {1 2 3})はS_3の部分群である。
また、この2つの部分群のように、ある1つの要素から生成される部分群は巡回部分群と呼ばれている。
代数方程式の解法について考察する際に、もっとも重要な役割を果たすのは正規部分群と呼ばれる部分群の概念である。
群Gの部分群Hについて、「任意のg∈GについてgH = Hgが成り立つ」とき、HはGの正規部分群であると定義される。
gHとは、Hの要素それぞれに左からgを掛けた結果の集合である。
その逆に、Hgとは、Hの要素それぞれに右からgを掛けた結果の集合である。
また、G * HとはGのそれぞれの要素にHのそれぞれの要素を右から掛けた結果を集めた集合とする。
ある群が正規部分群であるということは、その群による左剰余類の集合と右剰余類の集合が一致することと言い換えることができる。
群Gの部分群HのGに対する左剰余類の集合とは以下の条件を満たすL_1、L_2、...、L_mのことを指す。
L_1 * H = L_1 L_2 * H = L_2 ... L_m * H = L_m - (A) m = order(G) / order(H) order(L_i) = order(H) (1 ≦ i ≦ m)群Gの部分群HのGに対する右剰余類の集合とは以下の条件を満たすR_1、R_2、...、R_mのことを指す。
H * R_1 = R_1 H * R_2 = R_2 ... H * R_m = R_m - (B) m = order(G) / order(H) order(R_i) = order(H) (1 ≦ i ≦ m)
具体例として、({1 2 3}, {2 3 1}, {3 1 2})についてその剰余類を求めると以下のようになる。
以下、A_3 = ({1 2 3}, {2 3 1}, {3 1 2})とおく。
A_3については左剰余類と右剰余類の集合が一致しており、正規部分群であることがわかる。
({1 2 3}, {2 3 1}, {3 1 2}) * A_3 = ({1 2 3}, {2 3 1}, {3 1 2}) = L_1 ({2 1 3}, {1 3 2}, {3 2 1}) * A_3 = ({2 1 3}, {1 3 2}, {3 2 1}) = L_2 A_3 * ({1 2 3}, {2 3 1}, {3 1 2}) = ({1 2 3}, {2 3 1}, {3 1 2}) = R_1 = L_1 A_3 * ({2 1 3}, {1 3 2}, {3 2 1}) = ({2 1 3}, {1 3 2}, {3 2 1}) = R_2 = L_2
次に、正規部分群でない部分群の例として、({1 2 3}, {2 1 3})についてその剰余類を求めると以下のようになる。
以下、P_3 = ({1 2 3}, {2 1 3})とおく。
P_3については左剰余類と右剰余類の集合にずれが生じる。
({1 2 3}, {2 1 3}) * P_3 = ({1 2 3}, {2 1 3}) = L_1 ({2 3 1}, {3 2 1}) * P_3 = ({2 3 1}, {3 2 1}) = L_2 ({3 1 2}, {1 3 2}) * P_3 = ({3 1 2}, {1 3 2}) = L_3 P_3 * ({1 2 3}, {2 1 3}) = ({1 2 3}, {2 1 3}) = R_1 = L_1 P_3 * ({2 3 1}, {1 3 2}) = ({2 3 1}, {1 3 2}) = R_2 ≠ L_2 P_3 * ({3 1 2}, {3 2 1}) = ({3 1 2}, {3 2 1}) = R_3 ≠ L_3
H_(k+1)がH_kの正規部分群であり、剰余群H_k/H_(k+1)が位数が素数の巡回群であるような部分群の列
G = H_0 ≧ H_1 ≧ ... ≧ H_k = {e}を連正規列と呼ぶ。
連正規列を持つ群は可解群と呼ばれる。
S_3、S_4は可解群であるがS_5は可解群でないことが知られている。
3次方程式の解法を紹介する。
簡単のため以下の形に変形された3次方程式の解法を紹介する。
x^3 + p x + q = 0 - (1)この方程式の解をそれぞれr_1、r_2、r_3とおく。
s_1 = r_1 + w r_2 + w^2 r_3 s_2 = r_1 + w^2 r_2 + w r_3 - (2) s_3 = r_1 + r_2 + r_3解と係数の関係より s_3 = 0であるので、s_1とs_2を求めれば、r_1、r_2、r_3の値を求めることができる。
ここで
s_1 = perm({1 2 3}, s_1) s_1 = perm({2 3 1}, s_1) - (3-1) s_1 = perm({3 1 2}, s_1) s_2 = w^2 * perm({2 1 3}, s_1) s_2 = perm({1 3 2}, s_1) - (3-2) s_2 = w * perm({3 2 1}, s_1)という関係に着目する。
perm({1 2 3}, s_1^3) = s_1^3 perm({2 3 1}, s_1^3) = s_1^3 - (4-1) perm({3 1 2}, s_1^3) = s_1^3 perm({2 1 3}, s_1^3) = s_2^3 perm({1 3 2}, s_1^3) = s_2^3 - (4-2) perm({3 2 1}, s_1^3) = s_2^3s_1^3とs_2^3を入れ替えた以下の関係も成り立つ。
perm({1 2 3}, s_2^3) = s_2^3 perm({2 3 1}, s_2^3) = s_2^3 - (4-3) perm({3 1 2}, s_2^3) = s_2^3 perm({2 1 3}, s_2^3) = s_1^3 perm({1 3 2}, s_2^3) = s_1^3 - (4-4) perm({3 2 1}, s_2^3) = s_1^3
上記の関係より、
s_1^3 + s_2^3 s_1^3 * s_2^3の2式について、どのような置換によっても不変であることが(4-1)(4-2)により確認できる。
(X - s_1^3)(X - s_2^3) = 0 <=> X^2 + 27 q X - 27 p^3 = 0 - (5)この2次方程式を解くことにより、s_1、s_2の値を求められる。
最後に上記の3次方程式の解法のどこに3次対称群が連正規列を持つことに対応しているのかを解説する。
その箇所とは、(4-1)(4-2)(4-3)(4-4)である。
(4-1)(4-2)(4-3)(4-4)について、s_1^3、s_2^3をX_1、X_2に、perm(x,y)をx*yにそれぞれ置き換えると以下のようになる。
以下の式が成り立つようなX_1、X_2が存在するということは、{1 2 3}、{2 3 1}、{3 1 2}からなる群が正規部分群であることに対応している。
実際、X_1に{1 2 3}、{2 3 1}、{3 1 2}からなる集合を、X_2に{2 1 3}、{1 3 2}、{3 2 1}からなる集合を代入すると、以下の式が成り立つ。
{1 2 3} * X_1 = X_1 {2 3 1} * X_1 = X_1 - (5-1) {3 1 2} * X_1 = X_1 {2 1 3} * X_1 = X_2 {1 3 2} * X_1 = X_2 - (5-2) {3 2 1} * X_1 = X_2 {1 2 3} * X_2 = X_2 {2 3 1} * X_2 = X_2 - (5-3) {3 1 2} * X_2 = X_2 {2 1 3} * X_2 = X_1 {1 3 2} * X_2 = X_1 - (5-4) {3 2 1} * X_2 = X_1
さらに、(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)はそれぞれ以下のように書き換えることができる。
X_1 * X_1 = X_1 - (6-1) X_2 * X_1 = X_2 - (6-2) X_1 * X_2 = X_2 - (6-3) X_2 * X_2 = X_1 - (6-4)(6-1)(6-2)(6-3)はX_1が正規部分群であるということと同値である。
また(2)をみると確認できるように、s_1とs_2との関係は{1 3 2}、{1 2 3}からなる部分群と対応している。
これは、正規部分群による剰余群は、位数が素数の可換群であることに対応している。
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