ライプニッツの公式
Apr 19 2016
フーリエ級数展開を用いてライプニッツの公式を確かめる
以下の様な周期関数を考えます。
`f(x) = x` `(-pi < x < pi)``f(x + 2 n pi) = f(x)`
この関数をフーリエ係数を求めます。
`f(x) = a_0 / 2 + sum_(k=0) a_k cos(k x) + sum_(k=0) b_k sin(k x)`以下の積分を計算することにより、フーリエ係数は求まります。 下記のプログラムで、この積分の値を計算しています。
`a_0 = 1 / pi int_(-pi)^pi f(x) dx = 0``a_k = 1 / pi int_(-pi)^pi f(x) cos(k x) dx = 0`
`b_k = 1 / pi int_(-pi)^pi f(x) sin(k x) dx = (2 (-1)^k) / k`
これにより、`f(x)`のフーリエ級数展開を得ます。
`f(x) = sum_(k=0) ((2 (-1)^k sin(k x)) / k)`ここで、`x = pi / 2`とおくと、ライプニッツの公式を得ます。
`pi / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + 1 / 9 - ...`