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曲面のガウス曲率
May 27 2016
以下のコードは、曲面 `z = f(x, y)` の
ガウス曲率
`K` と
平均曲率
`H` を計算しています。
def v1 := [|1, 0, ∂/∂ (f x y) x|] def v2 := [|0, 1, ∂/∂ (f x y) y|] v1 -- [| 1, 0, f|1 x y |] v2 -- [| 0, 1, f|2 x y |] def v3 := crossProduct v1 v2 v3 -- [| - f|1 x y, - f|2 x y, 1 |] def e3 := v3 / sqrt '(V.* v3 v3) e3 -- [| - f|1 x y / sqrt ((f|1 x y)^2 + (f|2 x y)^2 + 1), - f|2 x y / sqrt ((f|1 x y)^2 + (f|2 x y)^2 + 1), 1 / sqrt ((f|1 x y)^2 + (f|2 x y)^2 + 1) |] def E := V.* v1 v1 def F := V.* v1 v2 def G := V.* v2 v2 E -- 1 + (f|1 x y)^2 F -- f|1 x y * f|2 x y G -- 1 + (f|2 x y)^2 def L := V.* (∂/∂ v1 x) e3 def M := V.* (∂/∂ v1 y) e3 def N := V.* (∂/∂ v2 y) e3 L -- f|1|1 x y / sqrt ((f|1 x y)^2 + (f|2 x y)^2 + 1) M -- f|1|2 x y / sqrt ((f|1 x y)^2 + (f|2 x y)^2 + 1) N -- f|2|2 x y / sqrt ((f|1 x y)^2 + (f|2 x y)^2 + 1) def K := (L * N - M ^ 2) / '(E * G - F ^ 2) def H := ('E * N + 'G * L + (-2) * F * M) / 2 * '(E * G - F ^ 2) K -- (f|1|1 x y * f|2|2 x y * (f|1 x y)^2 + f|1|1 x y * f|2|2 x y * (f|2 x y)^2 + f|1|1 x y * f|2|2 x y - (f|1|2 x y)^2 * (f|1 x y)^2 - (f|1|2 x y)^2 * (f|2 x y)^2 - (f|1|2 x y)^2) / (3 * (f|1 x y)^4 + 3 * (f|1 x y)^4 * (f|2 x y)^2 + (f|1 x y)^6 + 6 * (f|1 x y)^2 * (f|2 x y)^2 + 3 * (f|1 x y)^2 * (f|2 x y)^4 + 3 * (f|1 x y)^2 + 3 * (f|2 x y)^4 + (f|2 x y)^6 + 3 * (f|2 x y)^2 + 1) H -- (f|2|2 x y + f|2|2 x y * (f|2 x y)^2 + 2 * f|2|2 x y * (f|1 x y)^2 + (f|1 x y)^2 * f|2|2 x y * (f|2 x y)^2 + (f|1 x y)^4 * f|2|2 x y + f|1|1 x y + 2 * f|1|1 x y * (f|2 x y)^2 + f|1|1 x y * (f|1 x y)^2 + (f|2 x y)^4 * f|1|1 x y + (f|2 x y)^2 * f|1|1 x y * (f|1 x y)^2 - 2 * f|1 x y * f|2 x y * f|1|2 x y - 2 * f|1 x y * (f|2 x y)^3 * f|1|2 x y - 2 * (f|1 x y)^3 * f|2 x y * f|1|2 x y) / (2 * sqrt ((f|1 x y)^2 + (f|2 x y)^2 + 1))
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