1の5乗根
Apr 7 2016
1の5乗根の冪根表示
1の5乗根について、
`cos((2pi)/5) = 1/4 (-1 + sqrt 5)`
であることが知られています。
2通りの方法でこのことを確かめます。
簡単な解法
`x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0`の両辺を`x^2`で割ったものを、(`x != 0`は明らか)
`(x + 1/x)^2 + (x + 1/x) - 1 = 0`と変形し、
`t = x + 1/x`と置換すれば、2次方程式を2回解くことにより、1の5乗根を求めることができます。
ガロア理論の知識を利用したより一般的な解法
`x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0`
のガロア群が`ZZ//5ZZ-{0}`における乗法についての循環群と同じ構造であることを利用した解法で計算します。
この考え方を応用すると任意のnについて1のn乗根を計算することができます。